復變函數教程

第一章 復數與復空間
1 復數域
2 復數的表示
3 復數的運算
4 不等式
5 圓周和直線方程
6 關於圓周的對稱點
7 復數的球面表示與擴充復平面
第二章 復平面的拓撲
1 復平面上的開集與閉集
2 完備性
3 緊性
4 曲線
5 連通性
6 連續函數
習題
第三章 解析函數概念與初等解析函數
1 解析函數概念
2 可導的充要條件
3 導數的運算
4 導數的幾何意義與函數的實可微
5 指數函數
6 儒可夫斯基函數
7 分式線性變換
8 三角函數
9 對數函數
10 冪函數
11 儒可夫斯基函數的反函數與反三角函數
習題
第四章 Cauchy 定理與Cauchy 公式
1 積分
2 Cauchy 定理
3 Cauchy 公式
4 變上限積分確定的函數
5 最大模原理與Schwarz 引理
習題
第五章 解析函數的級數展開
第六章 留數定理和幅角原理
第七章 調和函數
第八章 解析開拓
第九章 共形映射
附錄
習題答案與提示
名詞索引
參考書目

復變函數是大學數學系的一門重要基礎課，為配合這門課程的教學，國內外已出版了許多復變函數的教材，國內復變函數的教材數量太少，使講課教員在確定教材和主要參考書時，沒有可供選擇的余地，作者在多次講授這門課的基礎上，把融入個人教學經驗的講義編寫成書，只是供使用者多一種選擇的可能。

據作者講授的經驗，課中有些內容較易講授.如Cauchy定理Cauchy公式，Tayor展式與Laurent展式，留數定理與Rouche定理及其應用等.對這部分內容力求在邏輯上編排得更有條理、更加系統，有利於讀者主動地、積極地去思考問題，能更好、更快地領會和理解所講述的內容.課中有些內容不易講授，如多值函數的單值域選取和黎曼曲面的構造，解析函數沿曲線的解析開始與單值性定理，黎曼存在定理與邊界對應定理等.對這部分內容力圖在概念上講得更清楚些、方法上講得更透徹些.

書中充分吸取國外教材中有意思、有啟發性的內容.如第三章作為導數法則的應用，證明多項式零點與其導數零點的關系；Cauchy公式的證明采用數學歸納法處理；第六章在單葉解析函數的應用中加進解析函數局部映射的性質.本書與當前國外教材主要差別在於Cauchy定理的處理.國外教材都是先引入曲線繞一點的環繞數和閉曲線族在區域上同調於零的概念，定理的證明采用Dixon證法或Beurdon證法、Artion證法等.而本書仍采用傳統的Pringsheim方法處理.因為這樣做並不影響今後學習黎曼曲面、多復變函數、Hp空間、單葉函數論等專門化課程，而且國外教材的講法不能替代本書的講法，比如本書討論積分路徑可以是區域的邊界，和區域可以包含無窮遠點情形.

本書在與數學分析的餃接上，盡量做到相互推證、彼此呼應.如在第三章應用數學分析中反函數存在定理來證解析函數的反函數定理，用數學分析中曲線積分與路徑無關定理，證明單連通區域內調和函數一定有共軛調和函數和對數函數在不含原點的單連通域內一定可取向單值解析分支等.特別實初等函數是解析函數在實軸上的限制，所以關於初等函數的一些命題，用解析函數方法可給出統一的、簡明的處理.如重新得初等函數的Taylor展式，而不必去證項趨於零；正切、余切函數展成部分方式，在數學分析中用Fourier級數技巧，一些特殊廣義積分計算用參變積分技巧，現在用留數定理給出統一的、有一定程式可循的處理.但e（-x2）在實軸上積分是例外，用復分析方法比數學分析中辦法來得復雜，所以本書手稿一段數學分析的內容，使讀者對有關公式前後左右關系有一完整的認識.

本書是按64學時的課程編寫的，對只有48學時的課程也是適用的，當然課程內容需要作些刪減.如第三章反余弦、反正切函數不講；第五章第一節只著重講Weierstrass定理；第六章關於對半純函數的應用不講；第七章有選擇地只講前三節內容；第八章只講前兩節內容，單值性定理僅介紹不證明；第九章只講第一節內容，黎曼映射定理與邊界對應定理只介紹不證明.在順序上，把第七章移到最後，必要時可以刪去.經這樣刪節後，這些內容是能夠在48學時內講授完的.

此書編寫過程中，張順燕教授仔細審閱書稿，並提出了許多有益的修改意見.責任編輯劉勇同志為審編此書付出了辛勤的勞動，在此，謹向他們表示衷心的感謝。

由於作者水平所限，書中缺點和錯誤在所難免，懇切希望大家批評指正.

方企勤
1996年1月於北京