第10章 何謂導數？
窮則變，變則通
好了，現在我們終於講到了微積分觀念的精髓，這可是進入微積分初步裡面最重要的一個單元。何謂導數？為何大夥把它看得那麼重要？又為什麼幾乎每一個修過微積分的人，都對這個簡單的觀念聞之色變？
說穿了，導數這玩意兒真的相當簡單，一言以蔽之，就是「斜率」。
例題（抓羊）
假設你即將背著一隻打了麻醉藥的羊，走上山坡。我們先把山腳下位置的座標設定為(0, 0)，即原點，當你從山腳走上山坡的時候，你的x座標跟y座標都同時隨著你的移動而改變，事實上都是在增加。讓我們取h(x)為在x點上的山坡高度，所以函數h(x)的圖形，也就是滿足方程式y = h(x)的點所連成的曲線，就是這個山坡的輪廓。
由於你是背著一隻羊爬坡，所以你最關切的是你走過的任意一點的陡峭程度，因為愈是陡峭，坡就愈難爬。函數h(x)的導數，正是這個山坡在x點的陡峭程度，我們以h'(x)來表示。
譬如說，我們假設h'(10) = 1/6，以此表示你在x方向上走了10英尺之後，到達的新位置的陡峭程度等於1/6。而所謂的陡峭程度1/6，是指你在水平方向每移動1英尺（差不多一小步的距離），你必能垂直向上移動2英寸，這樣的坡度還不算陡。
不過，如果我們另外假設h'(20) = 5，那表示當你在x方向上走了20英尺時，會發現你腳下的地點非常陡峭。有多陡呢？相當於每向水平方向橫移1英尺，你就能上升5英尺！這時你恐怕需要一套登山裝備，另外還需要替那頭羊準備一個絞盤。
如果再假設h'(30) = －2呢？那就是說當x = 30時，你腳底下的地面是每橫移1英尺，就會在垂直方向移動－2英尺。換句話說，你正在下坡，這時你只要讓那頭羊滾下山坡就得啦。
當然，導數的功用不限於用來把麻醉過的羊扛上山坡，它們還可以應用在更為一般的狀況下，比如麻醉過的綿羊啦，麻醉過的土撥鼠啦，甚至麻醉過的小型美洲水牛等等。除了對上述用來量測一隻羊的海拔高度的函數外，導數更可以用在許多其他的函數上。
