數學概觀

第一章 模型與現實
1.1 模型
1.2 模型與現實
1.3 數學模型
第二章 數論
2.1 素數
2.2 費馬定理和威爾遜定理
2.3 高斯整數
2.4 一些問題和結果
2.5 幾段原諒
第三章 代數
3.1 方程理論
3.2 環，域，模和理想
3.3 群
3.4 幾段原諒
第四章 幾何和線性代數
4.1 歐幾里得幾何
4.2 解析幾何
4.3 線性方程組和矩陣
4.4 線性空間
4.5 賦范線性空間
4.6 有界性，連續性，緊性
4.7 希爾伯特空間
4.8 伴隨鼻子和譜定理
4.9 幾段原諒
第五章 極限，連續性和拓撲學
5.1 無理數，戴德金截割，康托爾的基本序列
5.2 函數的極限，連續性，開集和閉集
5.3 拓撲學
5.4 幾段原諒
第六章 英雄世紀
第七章 微分
7.1 導數和行星行動
7.2 嚴格的分析
7.3 微分方程
7.4 多元函數的微分法
7.5 偏微分方程
7.6 微分形式
7.7 流形上的微分法
7.8 一段原諒
第八章 積分
8.1 面積，體積，黎曼積分
8.2 數學分析中的某些定理
8.3 Rn中的積分和測度
8.4 流形上的積分
8.5 幾段原諒
第九章 級數
9.1 收劍與發散
9.2 冪級數與解析函數
9.3 逼近
9.4 幾段原諒
第十章 概率
10.1 概率空間
10.2 隨機變量
10.3 期望與方差
10.4 隨機變量的和，大數定律，中心極限定理
10.5 概率與統計，抽樣
10.6 物理學中的概率
10.7 一段原文
第十一章 應用
11.1 數值計算
11.2 模型的構造
第十二章 數學的社會學、數學的心理學和數學教學
12.1 三篇傳記
12.2 數學的心理學
12.3 數學教學
附錄
人名索引
名詞索引

試圖使數學為廣大公眾所理解，這是一件極為艱巨的工作，作者必須考慮到讀者對於不熟悉的概念和錯綜復雜的邏輯關系並沒有什麼耐心去鑽研，而這就意味着要把大部分數學排除在外。

我在計划寫作這本書時給自己定的目標要比較容易達到。我寫這本書是給已經知道一些數學的讀者看的，特別是給讀完高中以后在學習大學一年級數學的學生看的。本書的目的就是要給大學低年級學生所碰到的數學內容提供歷史的、科學的以及文化的基本框架。從「數論」到「應用」這九章就是為達到這個目的而寫的。每一章的開始都有歷史的引言，接着對於一些基本事實進行緊湊而完備的論述，一直談到近討論的內容的當前狀況；如果可能的話，也要涉及一些近代的研究工作。大多數章節都引用歷史上的數學論文中的一兩段話來結尾。

有時讀者需要參閱前面的章節，但是各章在很大程度上是彼此獨立的。讀者即使在一章中某個地方卡住了，也仍然能夠閱讀其余大部分材料。然而可以這麼說，這本書並不打算讓讀者毫不費力地從頭到尾一氣把它讀完。它包含了很豐富的材料，其中有些材料並不能算是初等的。例如，在代數那一章中的希爾伯特零點定理以及積分那一章中的傅里葉反演公式都是如此。這些重要的題材之所以都收到本書中，是因為在這兩種情形下，根據前后文講過的材料可以很自然地給出簡單而清楚的證明來。

本書的另外三章討論更為一般的課題。頭一章討論模型與現實，最后一章討論數學的社會學、數學的心理學以及數學教學。中間還有一章談到17世紀的數學，它給無窮小演算（微積分）提供了一個較為完整的歷史背景材料。在附錄中，我簡單地介紹了一下術語及記法；最后，對於如何閱讀及選擇數學教科書，我也提出了一些建議。

卡爾·古斯塔夫·安德生和湯馬斯·克萊生讀過本書的袖稿，干納·布洛姆讀過概率論這章。威廉·F·小唐納格、陶爾·赫勒斯坦和查理·哈爾伯格讀過本書的定稿。對於這六位朋友及批評者的非常有價值的建議，我表示衷心的謝意。

L.戈丁
1977年4月於隆德