有限群表示論

第一章 基本概念
§1.1 線性變換與矩陣
§1.2 群表示的定義及例子
§1.3 表示的可約性
§1.4 表示的張量積
§1.5 群代數
第二章 群表示的特征標
§2.1 特征標的定義
§2.2 Schur引理
§2.3 群特征標的正交性
§2.4 不可約表示的個數
§2.5 特征標表的第二正交關系
第三章 點群的表示
§3.1 點群
§3.2 有限階循環群的表示
§3.3 二面體群的表示
§3.4 正四面體群的表示
§3.5 正八面體的表示
§3.6 正二十面體群的表示
§3.7 第二類點群的表示
第四章 群代數的分解
§4.1 表示與模
§4.2 冪等元
§4.3 FG分解為單理想的和
§4.4 單代數的結構
§4.5 對稱群的表示
第五章 有限群的實表示與復表示
§5.1 正交表示與酉表示
§5.2 對偶表示
§5.3 Frobenius—Schur指數
§5.4 有限群的實表示
第六章 有限群表示的進一步性質及某些應用
§6.1 不可約表示的維數
§6.2 paqb階群的可解性
§6.3 誘導表示
§6.4 Frobenius群
第七章 有限群模表示初步
§7.1 p模系統
§7.2 分解映射
§7.3 Cartan-Brauer 三角
§7.4 Brauer特征標
§7.5 群代數的塊
參考文獻
索引
《大學數學科學叢書》已出版書目

從古典數學到現代數學有兩個極重要的轉折。一個是Newton和Leibniz創建的微積分。將微積分用於幾何，則有微分幾何與積分幾何的發展。解決含有未知函數的微分或積分的方程就發展了微分方程或積分方程的理論。另一個是Galois在解決高次方程的根式解的問題時，考慮了根的置換，這是群論的開始。Jordan系統地論述了群論和Galois理論。隨着群論的建立，發展了抽象代數理論。這些構成了20世紀數學發展的支柱，促進了20世紀數學的飛躍發展。

群論是從Galois研究高次方程的根的置換開始的，直到19世紀末20世紀初，由Frobenius和Burnside獨自開創了由線性群（或等價的矩陣群）來描述群的理論（即群表示論），群論才可以說形成了一個完整的系統的理論體系。

Frobenius的工作由Schur改善和簡化。由誘導表示得到的Frobenius互反律、特征標乘積分解等是群表示論的主要工具。Burnside定理（paqb階群是可解群）是群表示論應用於有限群研究的最早的著名結果。20世紀20年代，Noether強調了「模」這一代數結構的重要性，她把代數結構理論和群表示理論融合為一，推進了這兩個分支的發展。現今不僅有限群有「表示理論」，而且許多代數結構（如結合代數、李群、李代數等）都有「表示理論」，從而形成了廣泛的「表示理論」。

Brauer將群表示理論大大深化，引進了有限群的模表示理論，建立了模表示與常表示的關系，使群英會表示論在有限群結構理論中起着日益重要的作用。Feit與Thompson證明了Burnside猜想，「奇數階群是可解群」是這方面的第一個重要結果。有限單群分類問題的解決，也是依賴於群的表示理論。可惜受篇幅限制，只能向讀者簡介介紹群的模表示理論。

群論的建立和發展，除代數學本身的原因外，還有幾何的、物理的、化學的原因。「群」是「對稱性」的表現與描述，有兩類很好表現對稱性的有限群。一類自然是正多面體的對稱群，即點群。點群的表示在物理學和化學中都是很有用的。另一類是n個文字的置換群，或對稱群，對稱群的表示與多項式理論、組合數學都有密切聯系，受篇幅所限這里不向讀者介紹了。

由於物理及幾何的對象是在實空間中，因此群的實表示是很重要的研究對象，實表示的解決依賴於復表示的理論。

以上這些內容，就是本書，也就是我們在「有限群表示論」這門選修課以及模表示論的討論班中介紹的內容。這些只能算是有限群表示論的ABC，甚至只能算是A。希望這樣的介紹多少有些用處。白承銘教授、朱富海副教授及王立雲副教授在講授此課程時，也曾使用這個講義並提了許多寶貴的建議。作者衷心感謝他們。我們要感謝白瑞蒲教授、陳良雲副教授及所有參加這個討論班的教師和研究生。作者還要特別感謝張世清教授和王宏玉教授邀請前一作者到他們學校講授本課程，提供了一個交流的機會。作者在講授本課程與撰寫本書時，還得到許多朋友的熱心幫助，如陳永川教授、侯慶虎副教授、史毅茜副教授、孔小麗及孟新宇等，在此謹致衷心的謝意。還要懇請未及提到的朋友們的寬恕。

我們要深深地感謝中國科學技術大學數學系為前一作者提供了優越的工作環境，本書最終就定稿於這樣的優越環境中。

作者要感謝科學出版社的呂虹編審和她的同事們，本書得以出版是與他們的辛勤工作分不開的。我們還要感謝國家自然科學基金（基金號：10571119）、南開大學和教育部核心數學與組合數學重點實驗室的一貫的大力資助。

孟道驥 朱萍
2006年6月