代數特征值問題

第一章 理論基礎
第二章 攝動理論
第三章 誤差分析
第四章 線性代數方程組的解法
第五章 Hermite矩陣
第六章 化一般矩陣為壓縮型
第七章 壓縮型矩陣的特征值
第八章 LR和QR算法
第九章 迭代法
參考文獻

代數特征值問題的解法長期以來對我有一種特殊的魅力，因為它充分地顯示出所謂經典數學與實用數值分析之間的差異。特征值問題具有貌似簡單的提法，而且其基本理論多年來已為人們所熟知；然而欲求其精確解就會遇到各種挑戰性問題。

L．Fox教授與E．F．Goodwin博士基于我在計算機上工作的早期經驗，建議我寫一本關于這個主題的書，納人數值分析專著叢書。如果不是W．J．Givins教授邀請我參加1957年于底特律召開的矩陣討論會，因而相繼被邀請在密執安大學舉辦的夏季討論班作題為“解線性方程組及計算特征值和特征向量的實際技巧”的講演，撰寫本書恐怕只能是一個良好的願望。每年為這些講演提供一套講義的規定業已證明確有特定的價值，本書的許多材料就是以這種方式通過講演得以介紹。

我原來的意圖是敘述解此問題的大部分已為人們知曉的技巧以及對其優點作出評價，並盡可能附以相應的誤差分析。基于上述想法的原稿于1961年差不多就完成了。然而，在準備原稿的那段時間內，特征值問題與誤差分析獲得了重大進展，使我對原先的各章日益感到不滿。1962年我決定按照業已改變的客觀情況改寫全書．我感到，要包含幾乎所有的已知方法並給出它們的誤差分析已不再切合實際，因此決定主要敘述我有著廣泛實際經驗的那些方法。同時，我插進附加的一章，給出相當一般的誤差分析，它適用于後面提出的幾乎所有的方法。多年的經驗使我確信，一種方法，如果沒有使用過，就很難對它作出可靠的評價，並且一個實際過程在細節方面的相當微小的變動常常會對此方法的效果產生很大的影響。

寫數值分析書的作者面臨著一個特殊的困難問題，這就是如何確定該書的讀者對象。特征值問題的實用性論述可能使許多人都感興趣，其中包括設計工程師、理論物理學家、經典應用數學家以及那些旨在矩陣領域進行研究的數值分析家。一本主要面向後一類讀者的書可能會使前一類讀者感到難以接受。我不會單純因某些讀者可能感到太困難而省略掉任何東西，但是只要題材許可，我盡量把一切寫得初等一些。左右為難的處境在第一章中表現得最為突出。我希望，那里所采用的初等敘述不至于冒犯嚴謹的數學家，而且如果他還擬從本書其余部分汲取營養，那麼希望他把這僅僅看作是他所熟悉的經典材料的一種粗淺表示。我從一開始就假定讀者熟悉向量空間、線性相關以及秩的基本概念。對于本書內容而言，I．Fox的《數值線性代數引論》（Oxford，本叢書之一）是一部極好的入門書。在此領域中的研究工作者將在A．s．Hou－seholdcr的《數值分析中的矩陣論》（Blaisdell，1964年）一書中找到非常珍貴的資料。

前面業已提到，我決定只講述那些我具有廣泛經驗的方法，這就難免使得一些重要的算法被省略掉。然而，這些省略的嚴重性實際上也許是比較小的，因為Durand的著作《代數方程數值解》（Masson，1960年，1961年）以及D．K．Faddeev與V．N．Fadde▔cva的著作《線性代數計算方法》（Moscow，1963年）提出了非常廣泛的敘述。不過有兩處省略需要特別提到，第一處是由P．J，Eberlein發展的Jacobi型方法以及由H．Rutishauscr獨立地發展的Jacoh型方法的各種變型。我認為，這些方法有意外地成功的希望，或許正好能提供一般特征值問題的最滿意的解．倘若不首先對它們進行應有的詳細研究，那麼我不願意將它們包括在內，因為不能直接用我所給出的一般誤差分析來概括它們，這一認識更堅定了我的決心。第二處省略是Rutishauser關于QD算法的一般論述，它有很廣泛的應用。我覺得，我不能在特征值問題的局部範圍內對此項工作做出完全公正的評價。 讀者可參閱Rutisha-us er與Henri。的論文。特征值問題的文獻非常豐富，我把文獻目錄主要限于正文中直接引用過的那些文章。前面提到過的Faddeev與Faddeeva的書以及Householder書都有非常詳細的文獻目錄可資利用。

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