抽象代數II

第0章 預備知識
§0.1 zorn引理
§0.2 範疇與函子
第1章 模
§1.0 環論知識的復習
1.0.1 基本知識
1.0.2 素理想與極大理想
1.0.3 多項式環
1.0.4 整除眭理論
§1.1 模的定義及例
§1.2 子模與商模，模的同態與同構
§1.3 模的直和與直積
§1.4 自由模
§1.5 主理想整環上的有限生成模
1.5.1 主理想整環上的有限生成自由模
1.5.2 有限生成模分解為自由模和扭模的直和
1.5.3 有限生成扭模分解為不可分解循環模的直和
1.5.4 主理想整環上的有限生成模的結構定理
1.5.5 主理想整環上有限生成模的第二種分解
1.5.6 應用
§1.6 張量積
§1.7 同態函子和張量函子
1.7.1 同態函子
1.7.2 張量函子
§1.8 整性相關
習題
第2章 群的進一步知識
§2.0 群論知識的復習
§2.1 自同構、特征子群
§2.2 群在集合上的作用
§2.3 傳遞置換表示及其應用
§2.4 算子群
§2.5 Jordan-HSlder定理
§2.6 直積分解
§2.7 有限群的分類問題簡介
§2.8 自由群和定義關系
習題
第3章 Galois理論
§3.0 域論知識的復習
3.0.1 基本知識
3.0.2 正規擴張與分裂域
3.0.3 可分擴張與Galios擴張
3.0.4 有限域
§3.1 域嵌入
§3.2 Galois擴張
§3.3 用根式解方程的判別準則
3.3.1 分圓域
3.3.2 方程可用根式解的判別準則
§3.4 n次一般方程的群
§3.5 Galois群的上同調群
3.5.1 群的上同調
3.5.2 Galois群的一維上同調群
習題
第4章 結合代數和有限群的表示論
§4.1 代數與模
§4.2 不可約模和完全可約模
§4.3 半單代數的構造
§4.4 群的表示
§4.5 群特征標
§4.6 正交關系、特征標表
§4.7 誘導特征標
§4.8 群特征標理論的應用
習題
第5章 典型群的初步知識
§5.1 特殊射影線性群的單性
§5.2 空間上的型與典型群
§5.3 辛群
習題
習題解答與提示
第1章習題
第2章習題
第3章習題
第4章習題
第5章習題
參考文獻
名詞索引

自1995年以來，在姜伯駒院士的主持下，北京大學數學科學學院根據國際數學發展的要求和北京大學數學教育的實際，創造性地貫徹教育部“加強基礎，淡化專業，因材施教，分流培養”的辦學方針，全面發揮我院學科門類齊全和師資力量雄厚的綜合優勢，在培養模式的轉變、教學計劃的修訂、教學內容與方法的革新，以及教材建設等方面進行了全方位、大力度的改革，取得了顯著的成效。2001年，北京大學數學科學學院的這項改革成果榮獲全國教學成果特等獎，在國內外產生很大反響。

在本科教育改革方面，我們按照加強基礎、淡化專業的要求，對教學各主要環節進行了調整，使數學科學學院的全體學生在數學分析、高等代數、幾何學、計算機等主干基礎課程上，接受學時充分、強度足夠的嚴格訓練；在對學生分流培養階段，我們在課程內容上堅決貫徹“少而精”的原則，大力壓縮後續課程中多年逐步形成的過窄、過深和過繁的教學內容，為新的培養方向、實踐性教學環節，以及為培養學生的創新能力所進行的基礎科研訓練爭取到了必要的學時和空間。這樣既使學生打下寬廣、堅實的基礎，又充分照顧到每個人的不同特長、愛好和發展取向。與上述改革相適應，積極而慎重地進行教學計劃的修訂，適當壓縮常微、復變、偏微、實變、微分幾何、抽象代數、泛函分析等後續課程的周學時。並增加了數學模型和計算機的相關課程，使學生有更大的選課余地。

在研究生教育中，在注重專題課程的同時，我們制定了30多門研究生普選基礎課程（其中數學系18門），重點拓寬學生的專業基礎和加強學生對數學整體發展及最新進展的了解。

教材建設是教學成果的一個重要體現。與修訂的教學計劃相配合，我們進行了有組織的教材建設。計劃自1999年起用8年的時間修訂、編寫和出版40余種教材。這就是將陸續呈現在大家面前的《北京大學數學教學系列叢書》。這套叢書凝聚了我們近十年在人才培養方面的思考，記錄了我們教學實踐的足跡，體現了我們教學改革的成果，反映了我們對新世紀人才培養的理念，代表了我們新時期的數學教學水平。

經過20世紀的空前發展，數學的基本理論更加深入和完善，而計算機技術的發展使得數學的應用更加直接和廣泛，而且活躍于生產第一線，促進著技術和經濟的發展，所有這些都正在改變著人們對數學的傳統認識。同時也促使數學研究的方式發生巨大變化。作為整個科學技術基礎的數學，正突破傳統的範圍而向人類一切知識領域滲透。作為一種文化，數學科學已成為推動人類文明進化、知識創新的重要因素，將更深刻地改變著客觀現實的面貌和人們對世界的認識。數學素質已成為今天培養高層次創新人才的重要基礎。數學的理論和應用的巨大發展必然引起數學教育的深刻變革。我們現在的改革還是初步的。教學改革無禁區，但要十分穩重和積極；人才培養無止境，既要遵循基本規律，更要不斷創新。我們現在推出這套叢書，目的是向大家學習。讓我們大家攜起手來，為提高中國數學教育水平和建設世界一流數學強國而共同努力。

張繼平
2002年5月18日
于北京大學藍旗營