復分析導引

第一章 Riemann映射定理
§1 解析映射
§2 解析函數序列與正規族
§3 Riemann映射定理的證明
§4 共形映射的邊界對應
§5 模函數
§6 單值性定理
§7 Picard定理
§8 單葉函數
§9 區域序列共形映射的收斂定理
習題
第二章 廣義Schwarz引理及其應用
§1 Poincare度量
§2 Schwarz-Pick定理
§3 Montel正規定則
§4 Ahlfors超雙曲度量
§5 po，1（z）的初等下界與Landau定理
§6 Picard大定理
§7 Schottky定理
習題
第三章 共形模與極值長度
§1 共形模
§2 極值長度
§3 Rengel不等式
§4 模的單調性與次可加性
§5 保模映射
§6 模的連續性
§7 模的極值問題
習題
第四章 擬共形映射
§1 幾何定義
§2 可微擬共形映射
§3 K擬共形映射的緊性
§4 廣義導數
§5 擬共形映射的分析性質
§6 存在性定理及其推論
§7 擬共形映射的Riemann映射定理
§8 等溫坐標的存在性
習題
第五章 Riemann曲面的基本概念
§1 Riemann曲面的定義
§2 Riemann曲面上的解析函數與映射
§3 緊Riemann曲面間的全純映射
§4 微分形式
§5 調和微分與半純微分
§6 Stockes公式
§7 Weyl引理
§8 一階微分形式的Hilbert空間
§9 光滑微分的分解定理
§10 調和微分的存在性
§11 半純微分與半純函數的存在性
習題
第六章 Riemann-Roch定理
§1 曲面的拓撲
§2 de Rahm上同調群
§3 緊Riemann曲面上的全純微分
§4 半純微分的雙線性關系
§5 除子與Riemann-Roch定理
§6 Riemann-Roch定理的證明
§7 Weierstrass空隙定理
§8 Abel定理及其推論
習題
第七章 單值化定理
§1 單值化問題與單值化定理
§2 單值化定理的證明
§3 單值化定理的推論
§4 Riemann曲面上的度量
§5 雙面型Riemann曲面與Fuchs群
習題
第八章 Riemann曲面上的擬共形映射
§1 基本概念
§2 擬共形映射的同倫提升
§3 擬共形映射的極值問題
§4 二次微分的軌線結構
§5 Teichmuller映射
§6 Teichmuller唯一性定理
第九章 Teichmuller空間
§1 Riemann曲面的模問題
§2 Teichmuller空間的模型
§3 Fricke空間
§4 Teichmuller存在性定理
§5 Teichmuller度量
§6 模群及其間斷性
§7 模變換的分類
習題
符號說明
名詞索引
參考文獻

本書是為綜合性大學數學專業本科生高年級學生及研究生編寫的復分析教材。它不僅是面向主修復分析的學生的，而且也是面向數學專業中主修其他各有關領域的學生的。作者希望通過此書向他們介紹有關現代復分析（不含多復分析）中的某些基本概念、基本理論與重要發展。它既是一部供一學期使用的教材，鴣是一部供有關研究人員使用的專業參考書。

本書的主要內容有:經典幾何函數論，擬共形映射，Riemann曲面和Teichmtller空間。之所以選擇這些內容，這自然與本書作者的研究興趣有關，但同時也考慮到它們在現代數學中與其他分支領域有較多的聯系。在本書中，幾何函數論並不是我們討論的重點。我們只介紹幾何函致論中那些最基本的部分，以便為后面的討論做必要的准備。擬共形映射的理論是著名數學家Lavrent’’yev與Ahlfors從不同的出發點創立的。它在Riemann曲面的模問題、單值化理論和Klein群等研究中顯示了重要作用，其應用范圍在不斷擴大，甚至超出了復分析的范疇。對於初學者而言，Riemann曲面理論是本書中最要緊的部分。解析函數的許多性質只有在Riemann曲面上才顯得更為清晰、和諧與統一。大家知道，緊Riemann曲面的理論與代數幾何及代數數論有直接的聯系。作為一維復流形，Riemann曲面所涉及的理論與方法，對於一般復流形和復幾何的研究而言，是一個最基本的參照物。Riemann曲面的理論與方法的推廣，深刻地影響着現代數學的許多其他分支。本書的最后兩章介紹Teichmtller空間的理論。它是社eichmuller關於Riemann模問題的著名結果的深化。這一理論是在Ahlfors的倡導下發展起來的；后來，由於其廣泛應用而備受關注。它與低維拓撲（Thurston的工作）、復解析動力系統（Sullivan的工作和McMullen的工作）和微分幾何（Tromba的工作和Wolf的工作）之間有着深刻的聯系，並出人意外地應用於理論物理的弦理論之中。

作者自1983年至1996年，曾先店在北京大學和其他院校多次為數學系的高午級本科生和研究生講授復分析課程。其間大多數是講Riemann曲面，有時也講擬共形映射或Teichmtller空間。當時，作者編寫了三部油印講義：《黎曼曲面基礎》、《擬共形映射》和《Teichmtller空間弓！論》，作為講課的教材。后來，這些講義已多年沒有重印了。去年，當作者再次為北京大學數學學院開設復分析課時，便面臨着講義的問題和講什麼的問題。這時便萌發了將上述三部分內容含寫成一本書，並希望能在一學期之內講完的想法。這一想法的主要出發點是復分析課的內容不宜過窄，並應體現學科之間的聯系。於是，對於上述講義的材料進行了篩選、修訂甚至重寫，並增添了經典幾何函數論的章節，形成了本書的初稿。2o03年2月至7月之間，作者用該書初稿在北大數學學院為高年級學生和研究生講授了復分析課，講完了其主要內容，實現了作者的初衷。

為使讀者容易把握事情的本質，在編寫此書時作者反復斟酌了內容的組織與表述方式，以盡可能作到敘述上筒單明了，突出主線。我們希望把主要篇幅用於解釋重要概念和定理的意義以及方法的實質，而不是把時間花費在證明的技術細節和形式的驗證上。書中許多定理的證明在過去的教學過程中逐步形成了自己的簡單形式。在此次的書稿中，我們對於單值化定理的傳統證明作了較大的更動。我們沒有使用傳統的次調和函數的Perron族方法，而是利用Montel正規定則給出了單值化定理一個簡單的證明，縮減了討論的篇幅。為了加深讀者對所涉及理論的理解，在書中我們對相關理論的歷史發展作了簡要評述。

作為數學系高年級學生或研究生的選修課，原本沒有什麼規定的大綱；其材料的選取是「仁者見仁」「智者見智」。在使用這部教材授課時，主講教師完全可以根據自己的興趣與實際情況，對本書的內容進行增刪。此外，將一部分內容留給讀者自已去學習、研究，可能要比什麼內容都在課堂上講授效果更好。

書中每一章都配備了適量的習題，其中大多數題目是不難的，但也有少數題目要花費較多的時間。我希望青年學者不僅要有堅實而廣泛的專業知識，而且要有較強的獨立動手能力。

在編寫本書的過程中得到許多朋友的幫助。我的同事伍勝健教授參與了編寫大綱的審定。郭輝教授、漆毅教授及王仙桃教授審閱了書稿，幫助作者改正了許多不當之處。此外，2004年崔貴珍教授與劉勁松博士以此書的書稿為主要參考書分別在浙江大學和北京大學為研究生講授復分析課，他們對書稿提出了寶貴的建議。北京大學出版社的劉勇同志對此書的出版一直十分關心，並做了大量編審工作。作者在此對他們一並表示衷心的感謝！

鑒於作者水平有隈，本書一定還存在不少毛病，歡迎讀者批評指正。

李忠
於北京大學
2004年6月20日