幾何學：空間和形式的語言

引言
第一部分 古代的幾何學
第一章 希臘人之前的幾何學
第二章 早期的希臘幾何學
沒有數的數學
畢達哥拉斯學派
黃金分割
雅典的幾何學
第三章 希臘重要的幾何學著作
《幾何原本》，亞歷山大的歐幾里得著
重新審視歐幾里得
阿基米德的《方法》《論球與圓柱》及其他著作
《圓錐曲線論》，佩爾格的阿波羅尼奧斯著
圓錐曲線的研究
《數學匯編》，亞歷山大的帕普斯著
希臘數學傳統的終結
第二部分 射影幾何學
第四章 文藝復興時期的數學和藝術
達·芬奇
丟勒
第五章 第一批定理
梅森
第六章 射影幾何學被重新發現
蒙日的學生
射影幾何學——一門成熟的數學分支
當代射影幾何學
群和幾何學
第七章 非歐幾何學
我們生活的空間是歐幾里得空間嗎？
第三部分 坐標幾何學
第八章 解析幾何學的起源
梅內克繆斯和佩爾格的阿波羅尼奧斯
笛卡兒
幾何學里的代數符號
費馬
畢達哥拉斯定理和笛卡兒坐標
第九章 微積分和解析幾何學
牛頓，新幾何學和舊幾何學
雙極坐標系
歐拉和立體幾何學
蒙日
第十章 微分幾何學
黎曼
第十一章 時空觀的形成
幾何學和狹義相對論
畢達哥拉斯定理和狹義相對論
幾何學和「普通」曲面的科學
諾特和對稱性
第十二章 無限維幾何學
大事年表
術語表

數學，也許還有古典音樂，是人類精神的最高創造。它完全從頭腦中產生，就像雅典娜從宙斯的前額中跳出來一樣。作為人類思想的最高境界，數學往往帶有它那種特有的靈性和神秘，遠離芸芸眾生，可是對於少數人，數學卻能像音樂一樣，給他們以巨大的心靈震撼。請看一下《羅素自傳》的第一卷：「11歲時，我開始學習歐幾里得幾何學9哥哥做我的老師。這是我生活中的一件大事，就像初戀一樣令人陶醉。我從來沒有想象到世界上還有如此美妙的東西。」無獨有偶，愛因斯坦在他的「自述」中也談到：「12歲時，我經歷了另一種性質完全不同的驚奇：這是在一個學年開始時，當我得到一本關於歐幾里得平面幾何的小書時所經歷的。這本書里有許多斷言，比如，三角形的三條高線交於一點，它們本身雖然並不是顯而易見的，卻可以很可靠地加以證明，以致任何懷疑似乎都不可能。這種明晰性和可靠性給我造成了一種難以形容的印象。」當然，他們兩位所說的還是2300年前的歐幾里得，而到21世紀我們所有的數學瑰寶就更加光彩奪目，遠遠超出人們的想象。

雖說數學大廈高聳人雲，它卻不是建在天上，只是少數神仙的游樂場。它植根於地下，也朦朧地出現在每個人的心中。這是因為數學不僅有精神天父的基因，也有物質地母的基因。這決定數擎從一開始就不可避免地是一種實用知識，它們實在太俗了，以至於某些自以為有高貴血統的人拼命要掩蓋其卑賤的出身，就像概率論學者不愛提它來自賭場的問題。計量、商貿、會計、人口普查是最早的應用數學，現在依然如此。盡管它們早已被排除在數學之外，可是正是這些活動把數學與日常生活聯系在一起，也正因為如此，基礎數學教育應運而生，至今仍是興旺發達的事業。說到這里，我們不能不為中國古代的數學和數學教育而自豪，早在孔夫子之前9中國（至少在齊國），九九表已經相當普及」可是兩千年后，意大利的商人子弟在家鄉只能學會加法，而要學乘法就得進城請教專家、大師了。西方的基礎教育有3R《Reading，Writing，Arithmetic）的說法，簡言之就是讀、寫、算，這說明在把文盲教育成識字的人的同時，還要使他們不致維持「數盲」的狀態。其實，對於絕大多數人來說，這已經足夠了，哪怕是現在的「信息時代」、「數字化時代」。

奇怪的是，雖然人們並不太需要太多的數學，數學教育家卻結結實實地灌輸給學生大量的數學。如果你小學畢業，6年數學都是主課。如果你完成義務教育，那就得念9年數學。高中3年的數學更是難得要命，這還沒有算上微積分。即便中學不學微積分，上大學許多人還是逃不掉，不僅學理工的要念微積分，學經濟、金融、管理的也要念。學文的雖然可逃此一劫，可老托爾斯泰的《戰爭與和平》的最后，就有微積分的論述，而且頗為深刻。馬克思、恩格斯、列寧也懂微積分。這麼說，難道一個人非得念十好幾年的數學嗎？更糟的是，正課之余許多學生還得為「奧數」拼搏。這些題之偏之難連國際著名的數學大師陳省身都不一定做得出來。費了半天勁，除了文憑和分數之外，究竟有什麼收獲呢？

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