內容簡介

1859年8月,沒什麼名氣的32歲數學家黎曼(Bernhard Riemann)向柏林科學院提交了一篇論文,題為“論小于一個給定值的素數的個數”。在這篇論文的中間部分,黎曼作了一個附帶的備注——一個猜測,一個假設。他向那天被召集來審查論文的數學家們拋出的這個問題,結果在隨後的年代里給無數的學者產生了近乎殘酷的壓力。時至今日,在經歷了150年的認真研究和極力探索後,這個問題仍然懸而未決。這個假設成立還是不成立?

已經越來越清楚,黎曼假設掌握著打開各種科學和數學研究之大門的鑰匙,但它的解答仍誘人地懸在那里,正好讓我們伸手夠不著。依賴于素數特性的現代密碼編制術和破譯術,其根基就在于這個假設。在1970年代的一系列非凡性進展中,顯示出甚至原子物理學也以尚未被完全了解的方式與這個奇怪難題扯上了關系。

在《素數之戀》中,極其明晰的數學闡釋文字與行文優雅的傳記和歷史篇章交替出現,它對一個史詩般的數學之謎作了迷人而流暢的敘述,而這個謎還將繼續挑戰和刺激著世人。

約翰‧德比希爾(John Derbyshire),根據所受的教育,他是一位數學家和語言學家;根據所從事的職業,他是一位系統分析師;而在業余時間,他是一位著名的作家。他的成名作是《夢見柯立芝》,這部1996年出版的小說大受人們歡迎,亞德利(Jonathan Yardley)在《華盛頓郵報‧圖書世界》上對它贊賞有加,《紐約時報‧書評》、《紐約客》、《波士頓環球報》等報刊也一致給予好評。他的作品還頻繁出現在《國家評論》和《新標準》雜志上。
 

目錄

序言
第一部分 素數定理
第1章 紙牌游戲
第2章 土地,收獲
第3章 素數定理
第4章 在巨人的肩膀上
第5章 黎曼的 函數
第6章 偉大的聚變
第7章 金鑰匙,以及改進了的素數定理
第8章 並非完全沒有價值
第9章 擴展定義域
第10章 一個證明和一個轉折點
第二部分 黎曼假設
第11章 九個祖魯女王統治中國
第12章 希爾伯特的第八個問題
第13章 自變量螞蟻和函數值螞蟻
第14章 陷入迷戀狀態
第15章 大0和默比烏斯u
第16章 攀爬臨界線
第17章 談一點代數
第18章 數論與量子力學相遇
第19章 擰動金鑰匙
第20章 黎曼算子及其他研究途徑
第21章 誤差項
第22章 要麼成立,要麼不成立
後記
注釋
附錄:黎曼假設之歌
 

1859年8月,伯恩哈德‧黎曼(Bernhard Riemann)成為柏林科學院的通訊院士,對于一個青年數學家來說(他當時32歲),這是一個崇高的榮譽。依照慣例,黎曼向科學院提交了一篇論文,對于他正在從事的某項研究作一個陳述。論文的題目是:“論小于一個給定值的素數的個數”。文中,黎曼探索了普通算術中一個看似簡單的問題。為了理解這個問題,試問:小于20的素數有多少個?答案是有8個:2,3,5,7,11,13,17和19。小于1000的素數有多少個?小于100萬的呢?小于10億的呢?有沒有一個普遍的規律或公式可用以計算,使我們免去一個個數的麻煩呢?

黎曼用他那個時代最尖端的數學來處理這個問題,使用的是甚至今天也只在大學的高級課程中講授的工具,並且為此創造了一個非常強大而精妙的數學對象。在論文的三分之一處,他提出了關于那個對象的一個猜測,然後寫道:

人們當然希望對此有一個嚴格的證明,但是我稍稍作了一些徒勞的嘗試之後,把尋求這樣一個證明的事擱置一旁,因為它對于我研究工作的當前目標來說並不是必需的。

那個不經意的、附帶的猜測幾乎被忽視了幾十年。後來,因為我在本書中打算解釋的那些理由,它逐漸抓住了數學家們的想象力,直至它成為一個具有壓倒性重要地位的謎。

那個猜測後來被稱為黎曼假設,它在整個20世紀一直是一個謎,到今天仍然是,因為它頂住了每一次證明或否證的嘗試。事實上,這個謎現在比近年來解決的其他長期懸而未決的重大問題——四色定理(1852年提出,1976年證明)、費馬大定理(約1637年提出,1994年證明),以及許多在專業數學界之外不太知名的其他問題——都要頑固。黎曼假設現在是數學研究中的大白鯨。

數學家對黎曼假設的專心研究持續了整個20世紀。下面是希爾伯特(David Hilbert)——他那個時代最杰出的數學英才之一——1900年在巴黎第二次國際數學家大會上的演講:

素數分布理論的實質性進展不久前已由阿達馬(Hadamard)、瓦萊.普桑(de la Vall6e Poussin)、馮‧曼戈爾特(von Mangoldt)等人作出。不過,要完全解決黎曼的論文“論小于一個給定值的素數的個數”給我們提出的那些問題,還需要證明黎曼的一個極其重要的命題的正確性,即……

接著是黎曼假設的陳述。100年以後,普林斯頓高等研究院院長、啄哈佛大學數學教授格里菲思(Phillip A‧Grif-fiths)在《美國數學月刊》2000年1月號上以“21世紀的確良研究挑戰”(Research Challenges for the 21st Century)為題寫道:

盡管20世紀取得了十分巨大的成就,仍然有幾十個懸而未決的問題尚待解決。我們大多數人都會同意,下面三個問題是最富挑戰性和最令人關注的。

黎曼假設。首先是黎曼假設,它逗弄了數學家150年……

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