一個數學家的辯白

純粹數學的旗手——哈代
一個數學家的辯白
數學證明
混合種群的孟德爾比率
印度數學家拉馬努金
J-型數學家和S-數學家
附錄

數學思想是數學家的靈魂

數學思想是數學家的靈魂。試想:離開公理化思想，何談歐幾里得、希爾伯特？沒有數形結合思想，笛卡兒焉在？沒有數學結構思想，怎論布爾巴基學派？……

數學家的數學思想當然首先是體現在他們的創新性數學研究之中，包括他們提出的新概念、新理論、新方法。牛頓、萊布尼茨的微積分思想，高斯、波約、羅巴切夫斯基的非歐幾何思想，伽羅瓦“群”的概念，哥德爾不完全性定理與圖靈機，納什均衡理論，等等，匯成了波瀾壯闊的數學思想海洋，構成了人類思想史上不可磨滅的篇章

數學家們的數學觀也屬于數學思想的範疇，這包括他們對數學的本質、特點、意義和價值的認識，對數學知識來源及其與人類其他知識領域的關系的看法，以及科學方法論方面的見解，等等。當然，在這些問題上，古往今來數學家們的意見是很不相同有時甚至是對立的，但正是這些不同的聲音，合成了理性思維的交響樂。

正如人們通過繪畫或樂曲來認識和鑒賞畫家或作曲家一樣，數學家的數學思想無疑是人們了解數學家和評價數學家的主要依據，也是數學家貢獻于人類和人們要向數學家求知的主要內容。在這個意義上我們可以說︰

“數學家思，故數學家在。”

數學思想的社會意義

數學思想是不是只有數學家才需要具備呢？當然不是數學是自然科學、技術科學與人文社會科學的基礎，這一點已越來越成為當今社會的共識。數學的這種基礎地位，首先是由于它作為科學的語言和工具而在人類幾乎一切知識領域獲得日益廣泛的應用，但更重要的恐怕還在于數學對于人類社會的文化功能，即培養發展人的思維能力特別是精密思維能力。一個人不管將來從事何種職業，思維能力都可以說是無形的資本，而數學恰恰是鍛煉這種思維能力的體操。這正是為什麼數學會成為每個受教育的人一生中需要學習時間最長的學科之一。這並不是說我們在學校中學習過的每一個具體的數學知識點都會在日後的生活與工作中派上用處，數學影響一個人終身發展的主要在于思維方式。以歐幾里得幾何為例，我們在學校里學過的大多數幾何定理日後大概很少直接有用甚或基本不用，但歐氏幾何嚴格的演繹思想和推理方法卻在造就各行各業的精英人才方面有著毋庸否定的意義．事實上，從牛頓的《自然哲學的數學原理》到愛因斯坦的相對論著作，從法國大革命的《人權宣言》到馬克思的《資本論》，乃至現代諾貝爾經濟學獎得主們的論著中，我們都不難看到歐幾里得的身影，另一方面，數學的定量化思想更是以空前的廣度與深度向人類幾乎所有的知識領域滲透數學，從嚴密的論證到精確的計算，為人類提供了精密思維的典範。

一個戲劇性的例子是在現代計算機設計中扮演關鍵角色的所謂“程序內存”概念或“程序自動化”思想。我們知道，第一台電子計算機（ENIAC）在制成之初，由于計算速度的提高與人工編制程序的遲緩之間的尖銳矛盾而瀕于夭折，在這一關鍵時刻，恰恰是數學家馮‧諾依曼提出的“程序內存”概念拯救了人類這一偉大的技術發明。直到今天，計算機設計的基本原理仍然遵循著馮‧諾依曼的主要是最生動的教材。拉普拉斯就常常對年輕人說︰“讀讀歐拉，讀讀歐拉，他是我們所有人的老師。”拉普拉斯這里所說的“所有人”，恐怕主要還是指專業的數學家和力學家，一般人很難問津。

數學家們另一類著述則面向更為廣泛的讀者，有的就是直接面向公眾。這些著述包括數學家們數學觀的論說與闡釋（用G‧哈代的話說就是“關于數學”的論述）．也包括對數學知識和他們自己的數學創造的通俗介紹。這類著述與板起面孔講數學的專著不同，具有較大的可讀性，易于為公眾接受，其中不乏膾炙人口的名篇佳作。有意思的是，一些數學大師往往也是語言大師，如果把寫作看作語言的藝術，他們的這些作品正體現了數學與藝術的統一．閱讀這些名篇佳作，不啻是一種藝術享受，人們在享受之際認識數學，了解數學，接受數學思想的燻陶，感受數學文化的魅力，這正是我們編譯出版這套《數學家思想文庫》的目的所在。

讀讀大師 走近數學

數學是數與形的藝術，數學家們的創造性思維是鮮活的，既不會墨守陳規，也不可能作為被生搬硬套的教條。學習了解數學家的數學思想當然可以通過不同的途徑，而閱讀數學家特別是數學大師們的原始著述大概是最直接可靠和富有成效的做法。

數學家們的著述大體有兩類。大量的當然是他們論述自己的數學理論與方法的專著，對于致力于真正原創性研究的數學工作者來說，那些數學大師們的原創性著作無疑是最生動的教材。拉普拉斯就常常對年輕人說︰“讀讀歐拉，讀讀歐拉，他是我們所有人的老師。”拉普拉斯這里所說的“所有人”，恐怕主要還是指專業的數學家和力學家，一般人很難問津。

數學家們另一類著述則面向更為廣泛的讀者，有的就是直接面向公眾。這些著述包括數學家們數學觀的論說與闡釋（用C‧哈代的話說就是“關于數學”的論述）．也包括對數學知識和他們自己的數學創造的通俗介紹。這類著述與板起面孔講數學的專著不同，具有較大的可讀性，易于為公眾接受，其中不乏膾炙人口的名篇佳作。有意思的是，一些數學大師往往也是語言大師，如果把寫作看作語言的藝術，他們的這些作品正體現了數學與藝術的統一，閱讀這些名篇佳作，不啻是一種藝術享受，人們在享受之際認識數學，了解數學，接受數學思想的燻陶，感受數學文化的魅力．這正是我們編譯出版這套《數學家思想文庫》的目的所在。

《數學家思想文庫》選擇國外近現代數學史上一些著名數學家論述數學的代表性作品，專人專集，陸續編譯，分輯出版，以饗讀者，第一輯編譯的是希爾伯特（D．Hilbert，1862—1943）、G．哈代（G．Hardy，1877—1947）、馮‧諾依曼（von Neumann．1903—1957）．布爾巴基（Bourbaki，1935—）、阿蒂亞（M．F．Atiyah，1929—）等20世紀數學大師的文集（其中哈代、布爾巴基與阿蒂亞的文集屬再版），這些文集中的作品大都短小精悍，魅力四射，充滿科學的真知灼見，在國外流傳頗廣。相對而言，這些作品可以說是數學思想海洋中的珍奇貝殼，數學百花園中的美麗花束。

我們並不奢望這樣一些貝殼和花束能夠扭轉功利的時潮，但我們相信愛因斯坦在紀念牛頓時所說的話︰

“理解力的產品要比喧嚷紛擾的世代經久，它能經歷好多個世紀而繼續發出光和熱。”

在這套叢書付梓之際，我們要感謝大連理工大學出版社特別是劉新彥和粱鋒同志，他們對傳播科學文化的熱情與遠見使本套叢書很快能以嶄新的面貌出版。我們衷心希望本套叢書所選譯的數學大師們“理解力的產品”能夠在傳播數學思想，弘揚科學文化的現代化事業中放射光和熱。

讀讀大師，走近數學，所有的人都會開卷受益。

李文林
2008年11月于北京中關村