品數學

品數學
定價:150
NT $ 131
  • 作者:吳振奎 吳蠊 吳彬
  • 出版社:清華大學出版社
  • 出版日期:2010-05-01
  • 語言:簡體中文
  • ISBN10:7302220824
  • ISBN13:9787302220824
  • 裝訂:平裝 / 396頁 / 普通級 / 單色印刷 / 初版
 

內容簡介

十幾年前。《中等數學》雜志開設“數海拾貝”欄目。筆者應邀陸續為該欄目撰寫了一些數學小品;其間。筆者又相繼為台灣《數學傳播》雜志寫了些東西;此外。還在《自然雜志》、《科學》、《科學世界》、《數學通訊》等雜志發表了一些短文。這些文章涉及了數學中的諸多方面或領域。它們或古典但不失新潮、或前沿卻很現實、或抽象但又生動、或深奧但卻有趣。這樣積少成多、集腋成裘。累計下來已有五十余篇小作見刊。

筆者一直盼望能有機會將它們匯集成冊。只是機緣未至。

數學是一片深奧的海洋。一座美麗的花園。一個奇妙的世界。這短短幾十篇小文只能作為邀游其中的走馬看花般的速覽。也僅能算作管中窺豹式的獵奇而已。

若說“數海拾貝”、“數壇攬勝”、“數園擷英”都似乎有些夸張。這里的“貝”、“勝”、“英”或許只能是霧里看花。水中望月般的觀賞。單憑這些(本書諸文)要想把它(數學)看得清清楚楚、明明白白、真真切切。似乎有點難(這要憑借您的功力和悟性。以及您的數學功底了)。然而慢慢讀來。再細細品嚼。您也許會從中嘗出些許芳香與甘甜。只要不是苦澀。這便是收獲。

當下文壇流行一個“品”字。思來想去本書干脆取名《品數學》以附庸風雅、趕回時髦。

鑒于筆者的學識與功力。此書的草就只能算作是了卻我們的一樁心願而已。盡管我們已經努力。盡管我們十分小心。但錯誤與缺點在所難免。只有祈望讀者的賜教了。

這是一本數學普及讀物,書中匯集了曾在一些雜志上發表的小品文數十篇。這些文章介紹了數學中的一些知識、趣聞、軼事。文章的內容可為大、中學校師生開拓數學視野、了解數學的內容、方法、意義提供某些素材。
 

目錄

一、 數字篇
1.素數花絮
談談素(質)數表達式
素數個數的估計
費馬素數與尺規作圖
梅森素數與完全數
其他特殊的素數
2.常數覽勝
黃金數0.618…
圓周率π
數e
歐拉常數0.5772156…
菲根鮑姆常數4.669…
3.說3道4
說3
道4
多角數‧雙平方和‧n後問題
自然數方冪和與伯努利數
Euler數組、Randle數、Shmith數……
幾種剖分數與組合數
幾個與完全平方和有關的問題
一些數字三角形
幾個與“形數”有關的問題
十個數碼的趣題
二、知識篇
1.朝花夕拾
從海倫公式談起
歐拉的一個猜想及其他
從盧卡斯的一則方程說起
植樹的數學問題
數學大師們的偶然失誤
2.得道善謀
分形的思考
數學命題推廣後的機遇
數學中的巧合、聯系與統一
並非懶人的方法——“實驗數學”芻議
再議數學中的實驗方法
3.尋根探源
數學奧林匹克的起源
ICM與菲爾茲獎
三、 問題篇
1.數海拾貝
省刻度尺與完美標號
貨郎擔問題
圖形的大小相等與組成相等
紐結的表示與分類
三角形、正方形的某些剖分問題
完美正方形
完美正方形補遺
圖形拼補趣談
2.明日黃花
漫話分形
混沌平話
費馬猜想(大定理)獲證
正交拉丁方猜想
施泰納比猜想
調和級數、冪級數與黎曼猜想
龐加萊猜想獲證
3.反例‧悖論
艱澀的反例
公說公有理,婆說婆有理
四、生活篇
1.名作佳話
幾幅幾作的數學喻義
“平均”問題拾穗
2.數學‧生活
一個實用的小康型消費公式
用優先因子法分析房價因素對購房者取向的影響
醉酒‧廣告‧人口模型‧S曲線及其他
有獎銷售與中獎號碼
地攤賭博探秘
另類“數獨”
參考文獻
 

社會的進步就是人類對美的追求的結晶。

——馬克思

數學。如果正確的看。不但擁有真理。而且也具有至高無上的美。

——羅素

美是自然。

由于數學是上帝用來書寫宇宙的文字(伽利略)。因而它們不僅含有真理。也蘊含“至高無上的美”(羅素)。大物理學家狄拉克說“上帝使用了美麗的數學來創造這個世界”。他稱數學是美麗的。

“美”是一個哲學概念。美學是一門社會科學。對于山水、風景、體形、相貌這類自然形成的事物。可以依據大多數人的審美觀點直觀地說“寞美!”或“真丑!”;然而對文學、藝術、建築、園林這類帶有人工雕琢痕跡的物件。人們再去欣賞它時。美與不美便是一種抽象的思維、判斷過程了。比如欣賞畢加索的畫作(圖1)。這不僅需要觀賞者有較高的藝術修養。還要有抽象思維的能力。因為這類所謂立體派畫作是將自然物像分解成幾何塊面。從而從根本上擺脫傳統繪畫的視覺規律和空間概念(也有人認為這是畫家在4維空間作畫。即將4維空間的物像用二維圖形表現出來)。

數學——人類進化過程中創造的學問。它是智慧的積累、知識的升華、技巧的創新。其中也自然不乏美。因為數學正是在不斷追求美的過程中發展的。誠然。人類的進步、社會的發展。正是人類不斷追求“美”、創造“美”的結晶。

自然界的美可通過眼、耳直接感受。而數學美像其他藝術、文學作品一樣。需通過心靈去思維琢磨。發幽探微。

數學之美到底美在哪里?

數學的和諧之美

所謂“數學的和諧”不僅是宇宙的特點,原子的特點,也是生命的特點、人的特點。

——高爾泰

和諧是美妙的,宇宙是和諧的,因而也是美妙的(宇宙的和諧正是宇宙自身不斷完善的結果)。無論中國古代的哲人莊子,還是古希臘的學者畢達哥拉斯、柏拉圖等,皆把宇宙的和諧比作音樂的和諧。

數學的嚴謹自然流露出它的和諧,為了追求嚴謹、追求和諧,數學家們一直在努力以消除其中不和諧的東西,比如悖論,它是指一個自相矛盾或與廣泛認同的見解相反的命題或結論(一個反例),一種誤解,或看似正確的錯誤命題及看似錯誤的正確結論。

在很大程度上講,悖論對數學的發展起著舉足輕重的作用,數學史上被稱作“數學危機”的現象,正是由于某些數學理論不和諧所致。通過消除這些不和諧問題的研究,反過來卻導致數學本身的和諧且促進了數學的發展。這正如數學家貝爾和戴維斯指出的那樣︰數學過去的錯誤和未解決的困難為它未來的發展提供契機,

古希臘畢達哥拉斯學派認為宇宙間一切數字現象都能歸結為整數或整數之比,然而希伯斯發現腰長為1的等腰直角三角形的斜邊長不能用兩個整數之比表示(見圖2),這一發現引起畢達哥拉斯學派的恐慌(也使希伯斯為此付出了生命代價),但它卻導致了一類新數——無理數的誕生。

《幾何原本》兩千多年來一直被放在絕對幾何的地位,哲學家康德等人甚至認為︰關于空間的原理是人們先驗的綜合判斷,物質世界必然是歐幾里得式的,歐幾里得幾何是唯一的、必然的、完美的。

當有人試圖將歐幾里得幾何中的第五公設(過直線外一點只能作一條直線與之平行)用其他公理去證明時(以求公設體系簡化),不幸都失敗了。德國數學家高斯首先意識到︰用歐幾里得的其他公設去證明第五公設是辦不到的,然而俄國學者羅巴切夫斯基和匈牙利的波爾約認為︰在選擇與平行公設相矛盾的其他公設後,也能建立起邏輯上無矛盾的幾何學——非歐幾何。爾後,德國數學家克萊因、法國數學家龐加萊等人的工作使得一種更一般的非歐幾何——黎曼幾何誕生了。

人們很早以前就注意到了蜂房的構造,乍看上去是一些並排且規則擺放的正六邊形的“筒”,你再仔細觀察就會看到,每個“筒”底由三塊同樣大小的菱形所搭建(見圖3)。

18世紀初,法國學者馬拉爾迪測量了蜂房底面三塊菱形的角度,發現其中的銳角(a)為70°32’,其鈍角(β)為109°28’。法國一位物理學家由此猜測︰蜂房的如此結構是建造同樣大的容積所用材料最節省的,這一點後來被法國數學家柯尼希證得。

再如,生命現象中的某些最優化結構(比如血管粗細直徑之比為根號下2分之3:1等)是生物億萬年來不斷進化、去劣存優的結果。數學也為這些現象找到了可靠的理論依據,

動物的頭骨看上去似乎有差異,其實它們不過是同一結構、在不同坐標系下的表現和寫真(見圖4),這是大自然選擇和生物本身進化的必然結果(以此觀點去看達爾文生物進化,是否會有別樣的感覺?)。

數學論證了自然界的和諧,反之自然界的和諧也為驗證數學的嚴謹與和諧提供了有力的範例。

……
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