線性代數及其應用

第1章 預備知識
線性空間和同構
子空間
線性相關
基和維數
商空間
第2章 對偶
線性函數
線性空間的對偶
零化子
余維數
求積公式
第3章 線性空間
域空間與目標空間
零空間與值域
基本定理
線性方程亞定組
插值
差分方程
線性映射的代數
轉置
零空間與值域的維數
相似
投射
第4章 矩陣
行和列
矩陣乘法
轉置
秩
高斯消元法
第5章 行列式和跡
有序單形
帶符號的體積
置換群
行列式公式
乘法性質
拉普拉斯展開
克拉默法則
跡
第6章 譜理論
線性映射的迭代
本征值與本征向量
斐波那契序列
本征多項式
再談跡與行列式
譜映射定理
凱萊-哈密頓定理
廣義本征向量
譜定理
極小多項式
矩陣何時相似？
交換映射
第7章 歐幾里得結構
標量積與距離
施瓦茨不等式
標準正交基
格拉姆-施密特方法
正交補
正交投影
伴隨
超定方程組
等距映射
正交群
線性映射的範數
完備性與局部緊致性
復歐幾里得空間
譜半徑
希爾伯特-施密特範數
向量積
第8章 歐幾里得空間自伴隨映射的譜理論
二次型
慣性律
譜分解
交換映射
反自伴隨映射
正規映射
瑞利商
最小最大原理
範數和本征值
第9章 向量值函數、矩陣值函數的微積分學
依範數收斂
求導法則
det A(t)的導數
矩陣冪
單本征值
多重本征值
雷利希定理
錯開交叉
第10章 矩陣不等式
正定的自伴隨矩陣
單調矩陣函數
格拉姆矩陣
舒爾定理
正定矩陣的行列式
行列式積分公式
本征值
分隔本征值
維蘭德-霍夫曼定理
最小、最大本征值
自伴隨部分正定的矩陣
極分解
奇異值
奇異值分解
第11章 運動學與動力學
旋轉軸、轉角
剛體運動
角速度向量
流體運動
旋度與散度
小幅振動
能量守恆
簡正振型與固有頻率
第12章 凸集
凸集
度規函數
哈恩-巴拿赫定理
支撐函數
卡拉泰奧多里定理
寇尼希-伯克霍夫定理
黑利定理
第13章 對偶定理
法卡斯-閔可夫斯基定理
對偶定理
經濟學上的解釋
最小最大定理
第14章 賦範線性空間
範數
lp範數
範數的等價性
完備性
局部緊致性
里斯定理
對偶範數
向量到子空間的距離
賦範商空間
復賦範線性空間
復哈恩-巴拿赫定理
歐幾里得空間的特征
第15章 賦範線性空間之間的線性映射
線性映射的範數
轉置映射的範數
映射的賦範代數
可逆映射
譜半徑
第16章 正矩陣
佩龍定理
隨機矩陣
弗羅貝尼烏斯定理
第17章 怎樣解線性方程組
歷史回顧

條件數
迭代法
最速下降法
基于切比雪夫多項式的迭代法
基于切比雪夫多項式的三項迭代法
優化的三項遞推法
收斂速度
第18章 如何計算自伴隨矩陣的本征值
QR分解
利用QR分解求解方程組
求本征值的QR算法
基于豪斯霍爾德反射的QR分解
三對角矩陣
模擬QR算法的托達流
默澤爾定理
更一般的流
部分練習答案
參考文獻
附錄1 特殊行列式
附錄2 普法夫多項式
附錄3 辛矩陣
附錄4 張量積
附錄5 格
附錄6 快速矩陣乘法
附錄7 格希高瑞定理
附錄8 本征值的重數
附錄9 快速傅里葉變換
附錄10 譜半徑
附錄11 洛倫茲群
附錄12 單位球的緊致性
附錄13 換位子的特征
附錄14 李亞普諾夫定理
附錄15 若當標準形
附錄16 數值域
索引

現年82歲的彼得‧拉克斯（Peter 0‧Lax）教授原籍匈牙利，自1958年開始就一直在美國紐約州立大學從事教學與研究工作，是美國科學院院士、紐約大學柯朗數學研究所前所長。他在純數學與應用數學的諸多領域都有極其卓越的建樹，被公認為是當代最頂尖的數學家和數學教育家之一，2005年，拉克斯憑借其“在偏微分方程的理論研究以及應用中起到的奠基性貢獻，以及在計算該類方程結果時做出的不懈努力”榮獲世界數學最高榮譽的阿貝爾獎，拉克斯教授一生致力于數學教育，獨立撰寫或與他人合著教材逾20部。正如授予他阿貝爾獎的挪威科學院所言，他“在數學領域有著相當深遠的影響，這不僅表現在他的研究貢獻里，而且他的著作、他對教育事業付出的畢生心血以及他在培養年輕一代數學家時體現出的孜孜不倦的精神，都在世界數學領域留下了不可磨滅的影響”。

本書的第1版（Linear Algebra）是拉克斯唯一一本專門介紹線性代數的著作，在書中他以分析的眼光、理論聯系應用的觀點講述線性代數，為讀者展開了一片新的視野，為線性代數教學的改革揭開了新的篇章，Am，ericaη Mathem，atical Mon，thly這樣評價道︰“此書不僅應該推薦給相關領域的研究生、教師和學者，而且也值得每一位數學家擁有。”

本書在秉承第1版風格的前提下，進一步豐富了內容，全面覆蓋了線性方程組、矩陣、向量空間、溥弈論、數值分析等內容，並根據最新的研究進展補充了自伴隨矩陣本征值的QR算法等內容。此外，為了提高原書作為教材的實用性，第2版從學生的角度出發，擴充了第1版中前面章節的內容，增加了練習，並且補充了部分練習的答案，總的說來，經過修訂，第2版更加精煉厚實，是一本可供高年級本科生不口研究生使用的優秀教材，同時也是數學教師、數學研究人員的一本很好的參考書，計算機工程技術人員的一本理想的工具書。

此次人民郵電出版社引進了該書，使我們有幸向國內廣大師生介紹並一同分享這本教材本書前言以及第12章至第18章由沈復興翻譯，其余部分由傅鶯鶯翻譯，最後由傅鶯鶯統稿在翻譯過程中，北京師範大學物理系馬永革教授和北京工商大學數理系物理教研室徐登輝老師對第11章物理名詞的譯法提出了寶貴建議，北京師範大學數學科學學院的研究生馬鑫、李永強、田巧麗和劉文新幫助校刈了部分書稿，人民郵電出版社編輯為譯本做了大量工作，在此一並表示感謝。

由于譯者水平有限，書中難免疏漏和不要之處，敬請廣大師生、同行專家批評指正！