高等近世代數

譯者序
前言
詞源
記號
第1章 相關知識回顧
1.1 數論
1.2 單位根
1.3 集合論
第2章 群Ⅰ
2.1 引言
2.2 置換
2.3 群
2.4 拉格朗日定理
2.5 同態
2.6 商群
2.7 群的作用
第3章 交換環Ⅰ
3.1 引言
3.2 基本性質
3.3 多項式
3.4 同大公因式
3.5 同態
3.6 歐幾里得環
3.7 線性代數
3.8 商環和有限域
第4章 域
4.1 五次方程的不可解性
4.2 伽羅瓦理論的基本定理
第5章 群Ⅱ
5.1 有限阿貝爾群
5.2 西羅定理
5.3 若爾羅－赫爾德定理
5.4 射影�模群
5.5 表現
5.6 尼爾森－施賴埃爾定理
第6章 交換環Ⅱ
6.1 素理想和極大理想
6.2 唯一因子分解整環
6.3 諾特環
6.4 佐恩引理的應用
6.5 簇
6.6 格羅布納基
第7章 模和範疇
第8章 代數
第9章 高等線性代數
第10章 同調
第11章 交換環Ⅲ
附錄 選擇公理和佐恩引理
參考文獻
索引

作者在前言中說︰“每一代人都應縱覽和總結代數學使之服務于到來的時代.”這是作者對本書提出的任務．這本書囊括了近一個世紀以來代數學發展的主要成果，涉及群、環、域、模、代數、範疇和同調等方面的基本理論，並概覽當前各主要分支研究的狀況．作者有意繼承上個時代的經典著作，為我們這個時代的代數學者提供一個合適的起點，本書完成了這一歷史任務，無愧于繼承者的職責．

作為研究生的代數教材，這樣生動的表述是很少見的，也許我們可以從不同的代數著作中學習重要的概念和結果，在邏輯上編織一個理論的體系，然後逐漸領悟到一些思想的萌發和發展的線索，但也可能我們未能覺察出內在的動力而感到茫然．這本書引領我們沿著代數思想發展的線索，步步深入，畫出一條埋伏在邏輯之下的紅線，這是本書的突出特色，不妨舉幾個例子．

當我們沿著代數的峭岩向上攀登的時候，一個接著一個的抽象險峰擋在我們前面，也許我們來不及思考代數為什麼構造那樣多的抽象，書中解釋了這個現象——抽象使我們更加經濟有效，用抽象建立的定理可以一勞永逸地運用于各種相關的具體場合，不僅如此，抽象還把事物的本質揭示得更為清晰，從而可以輕而易舉地證明某些事實．書中令人信服地舉出有限群的每個元素的階有限的例子，使我們領悟到抽象思想產生的內在動力，從而從具體的置換群走到抽象的群，從抽象的群、環、域、模等走到抽象的抽象——範疇．

伽羅瓦理論解決了多項式的根式可解性問題，從根式可解到伽羅瓦群有一條邏輯的長鏈——難怪伽羅瓦被公認為杰出的天才，書中把正多邊形上的對稱群和伽羅瓦理論的要素對應起來。生動地闡述了伽羅瓦理論．

學了很多群的知識，也許我們沒有想過群到底是什麼，書中點出群是描述對稱的．難道這沒有使我們多少悟出一點群的內涵嗎?

純代數地介入同調使我們十分茫然，書中從拓撲中的邊界問題指明了同調理論的起源，使我們多少有些啟發．

又例如，由費馬最後定理(即費馬大定理)引發戴得金環的研究；由羅素悖論導致公理集合論的建立；希爾伯特基定理的非構造性證明，穿插進關于戈丹(Gordan)的趣聞．

只有具備下列三個條件才能寫出這樣的教材︰理論的深度和廣度，豐富的教學經驗，出色的表達能力．

本書還提供了大量考證︰一個術語是怎樣得來的，為什麼起這個名稱，由誰首先使用，例如自由群、自由模、撓群、撓模、同態、同調、同倫、正合、射影�模群、交錯群、環、根理想、辛群、G一理想等；一個定理由誰得到，或由誰得到部分結果，又由誰加以完善，例如凱萊的一個結果起先是正確的，後來卻又有疑問了，不禁感嘆“智者千慮，必有一失”．這種考證不僅使我們增加了歷史知識，紀念那些創立概念和發現定理的杰出人物，而且也使我們從中悟出思想發展的進程，幫助我們明確和記憶一個術語所界定的概念．

作者說他盡量寫得詳細，感謝作者的巨細靡遺，為此我們可以像聆听作者親自講授一樣閱讀本書，從而使本書也可以作為極佳的自學教材．

最後，這是一本參考書，“它包含了使用代數的人必須知道的許多通常定理和定義”．當今數學的分支越來越細，大多數代數學者都在某一個分支進行工作，而各個分支不可避免地和代數學的主干相遇，具備這樣的一本參考書，是十分有益的．另外，書後的索引可使我們方便地查找有關的術語和結果．

在翻譯過程中，參考作者網站(http︰／／www．math．uiuc．edu／—rotman／)上給出的勘誤表以及翻譯過程中新發現的錯誤，對譯稿進行了修改．

譯完本書，譯者深切地感到這本書“不僅是一碟開胃小菜，也是一席豐盛大餐”．

本書的翻譯得到同濟大學葉家琛教授的很多幫助，謹表示衷心的感謝．對于審閱本稿或部分審閱本稿並指出錯誤的各位一並表示感謝．原著的某些疏漏雖然做了更正，但新的疏漏又會出現，加之譯者水平有限，差錯之處懇請廣大讀者指正．