微積分的思想方法溯源

第一章 無理數的發現
一、畢達哥拉斯及其學派
二、希帕索斯發現無理數
三、無理數的證明
第二章 數學符號的創立
一、數學符號系統的引入
二、初等數學符號系統
三、微積分符號系統
第三章 微積分計算的創立
一、阿基米德的主要貢獻
二、阿基米德的幾個故事
三、微積分著作《拋物弓形求積》
第四章 函數概念與函數思想
一、函數概念的產生與發展
二、函數思想及其在微積分中的應用
第五章 基本初等函數
一、基本初等函數的特征性質
二、對數函數的發明
三、幾個指數函數的威力故事
第六章 微積分中的分段函數
一、符號函數的定義與特征
二、狄利克雷與狄利克雷函數
三、黎曼與黎曼函數
四、高斯與取整函數
第七章 極限概念與極限思想
一、極限概念發展的幾個歷史階段
二、極限思想及其在微積分中的應用
第八章 微積分中的重要概念
一、連續
二、導數與微分
三、積分
第九章 微積分中的重要常數Π
一、圓周率的名稱
二、圓周率的符號與性質
三、圓周率的計算
四、蒲豐投針求Π
五、圓周率的記憶
第十章 微積分中的重要常數e
一、數列（1+1/n）的π方收斂性的證法
二、e的發明及其思考
三、Π和e的聯系
四、Π和e的“無理性”與“超越性”
五、e與微積分公式
第十一章 調和級數
一、調和級數的定義
二、萊布尼茲的貢獻
三、伯努利兄弟與調和級數
四、偉大的定理——調和級數的發散性
五、調和級數發散性的另外兩種早期證明
六、伯努利兄弟的遺憾
七、調和級數的前π項和
八、調和級數發散性的幾種證明方法
第十二章 歐拉與級數求和
一、數學英雄——歐拉
二、歐拉與哥尼斯堡七橋問題
三、歐拉公式
四、歐拉在級數求和方面的獨特貢獻
第十三章 微積分中的特殊積分
一、狄里克雷積分
二、概率積分
三、歐拉積分
四、橢圓積分
五、可利用其他技巧計算的特殊積分
參考文獻

數學科學是在歷史上逐漸形成和發展起來的一種知識系統。這個知識系統是由一個個分支組成的，同時各個分支間又相互聯系、相互交叉、相互作用，從而產生新的分支，促進數學的發展與壯大。

數學的每一個分支，在確立之前都有一個萌發、孕育的過程，總結和分析它們的系統發育過程、了解其思想方法的演變規律，對了解數學的發現與創新，有著重要的引導作用。當一個數學分支形成獨立的體系後，其內容體系中叉包含著該分支所特有的核心思想與常用方法。任何一個數學分支都是由具體的數學知識和蘊涵的思想方法構築起來的，數學知識是它的“軀體”，思想方法則是它的“靈魂”。思想方法寓于數學知識之中，是獲取知識和發展思維的動力工具。

如果將數學的教與學僅僅看成是數學知識的傳授與學習，將難以發揮數學的真正作用；領會和掌握數學的思想方法和精神實質，才能真正發揮數學在現實社會中的積極作用，才能充分顯示數學的無窮威力與魅力，這應該是數學教育所努力追求的目標。

數學方法論是研究數學的發展規律、數學的思想方法以及數學中的發現、發明與創新法則的一門學問。對數學分支思想方法的研究，是數學方法論研究的一個新領域和具體方向。

關于數學分支思想方法的研究，既可以對數學分支的發現、發展、創立過程中新觀念、新思想、新方法、新見解及其演變規律進行研究，叉可以對數學分支內容體系中蘊含的數學思想和方法進行研究。其主要研究內容主要包括︰數學分支的起源與發展，數學分支的本質和特征，數學分支與現實世界的關系，數學分支的文化地位，數學分支的認識論與方法論價值，數學分支內部間的辯證關系與美學研究，數學分支形成過程與內容體系中的核心思想，數學分支各特定內容中的數學思想與常用方法等。其主要研究方式主要有︰將數學哲學、數學史、數學教育相結合，將數學思想、數學知識、數學方法相結合。

《數學分支的思想方法叢書》是作者在數學方法論指導下，結合數學教學和科學研究的實踐，經過長時間探討的辛勤勞動成果，是數學方法論研究的新領域、新成果。本叢書主要從數學史、數學方法、數學哲學、數學教學、數學學習究、數學美學等視角，對數學分支的思想方法進行研究。將數學分支的本質、內容、思想、方法以及發展歷史有機地融會在一起。其顯著特點是系統性、深刻性與思辨性，同時集知識性、思想性、故事性、史料性于一體。是提高科學文化素質和增長知識的理想讀本，可作為大學數學專業的教材．亦可作為數學史研究的參考書目。並且對從事數學史、數學哲學、數學方法論的研究人員來說也有很好的參考價值。

希望本叢書的出版能對數學方法論研究領域的擴展和應用起到應用的推動作用。

王梓坤
（中國科學院院士、原北京師範大學校長）