數學就在你身邊
幾年前我寫了一本書《阿草的葫蘆》（遠哲科學教育基金會出版），特別標明「人類文化活動中的數學」。出版後頗受好評，不過也有人告訴我，還是寫得太深，跳得太快。
我承認，該書的讀者應該是已對數學有興趣，而更想知道數學在文化中所扮演角色的人。我考慮，是否該寫一本書，能讓一般讀者發現數學是身邊事，因而引起對數學的興趣。
參加國中小學九年一貫課程數學領域的設計，讓我更能體會到，一般國民需要什麼樣的數學。所以我就寫了現在這本書，定位是一般國民能夠知曉的數學，內容固然有些九年義務教育該學習到的數學，也有不少以義務教育為基礎，在終身學習的實踐中，一位成熟的社會人士也能領會的數學。
「數學是科學之母」，學科學的人都會同意這樣的主張，但一般人為什麼要學數學？很多人說離開學校後，除了簡單的算術外，數學是沒有用的；少數人說學好數學腦筋會比較清楚。前者屬數學無用論，後者屬數學抽象有用論。無論怎麼說，數學教育之功能是件很神祕的事。
這使我想起了尋找聖杯的故事。從十二世紀開紀，英國流傳亞瑟王及圓桌武士的故事。除了主架構外，後人又添加了許多新武士及他們的冒險故事。冒險故事之一就是尋找聖杯。
聖杯是耶穌及其門徒，在最後晚餐所用的杯子，自然神聖得很；傳說聖杯又可變出許多食物，所以又是有用得很。「神聖得很」類似於數學抽象有用論？「有用得很」類似於「數學是科學之母」，或者對一般人真有用？
傳說聖杯放在某一個古堡中，也傳說聖杯無所不在，於是眾多武士忙得不亦樂乎。從事數學教育的人也在問，數學的聖杯是什麼？在哪裡找得到？經過多年的尋尋覓覓，我認為數學的聖杯就是數與形所能呈現的各種胚騰（pattern）——廣義的規律，在日常生活中，在各領域裡，它是無所不在的。
尋找數學聖杯
我把各處找到的數學聖杯，彙整成這本書。這本書採例舉式的，儘量用實際的例子來表達意旨。全書36篇文章，依類分成6大篇，各以「學、說、算、變、看、想」為題。
「學」篇強調學數學的重點應擺在胚騰的追求與了解，胚騰指的是各種廣義的規律，在許多事務中的數與形都會出現。學會追尋胚騰，使得數學能力生根，學數學才真正有用。
裡面有兩篇文章談規律與胚騰。＜人是尋求規律的動物＞這篇文章，原來出現在黃敏晃教授所著《規律的尋求》（心理出版社出版）一書中，是我替該書所寫的一篇序文。第二篇文章＜從規律到胚騰＞則說明「廣義的規律」是什麼，為什麼選用「胚騰」做為pattern的中譯。另外的三篇文章則舉例談數學的學習。
「說」篇談的是一般語言中，牽涉到數字的語彙，譬如數數、計量、說時間、說空間、說順序等等。我們用十進位夾帶萬進位數數，很有特色。我們用數詞來做為點數實物的單位，但數詞應用對象的歸類太馬虎，造成學習數詞的困擾。時間、空間、順序的說法，如果不去注意說話者的時空背景，有時會造成雞同鴨講的窘境，譬如「向前看」怎麼解？下一班車、這一班車又怎麼移轉？
另外，有些用語和說法與數學有關，如亂七八糟、舉一反三等，已融入日常用語中，借來做為類比之用。能深究其原意，更能了解這些用法的深意。
「算」篇談的是算術。算術不只是計算規則而已。我們經常遇到很大的數目，不可能細數，只能估算。估算當然要了解相關事務的背景。要與日常生活或其他領域連結，數學才會有用。連結從算術就得開始。
隨著時間的推移，有些數目，譬如要過的日子、人口的多寡、航班的號碼，都有無限增長或重複利用的可能，我們稱之為潛在的無窮。怎樣掌握潛在的無窮，算術也能扮演重要的角色。
「變」篇談的是代數，強調「變」是代數思維的主軸：把同類的事務，以變數x做標記加以類化；隨著事務x的變化，事務某種特定的性質f(x)也隨之變化。如何類化？如何由x確定f(x)？如何由f(x)之特值確定x？這三個問題都屬代數的範疇。通常代數的教學過分重視第三個問題，也就是設未知數解方程式的問題。其實在日常生活中，解方程式的機會是絕少出現的。第二個問題是建立模型的問題。類化與模型的應用最為廣泛，應是一般人學習代數的重點。
計量心理學家提出了感覺M與刺激E之間的數學模型：E是M的指數函數。它可應用到地震規模與能量、星星的星等與亮度，甚至推而廣之，到都市規模、人才等級等等。另外各種成長現象，甚至音樂的音階設計，也可通過指數函數的數學模型來了解。
「看」篇談的是幾何。我們不談平面幾何的推理，而強調的是「看」：看地圖、地標找路、看視界的遠近、看面積的大小。這些都是簡單的幾何應用，案例卻是潛在的無窮。
我們也注意看平面的位置變化，鏡射的、平移的、旋轉的，進而探討各種對稱及帶狀裝飾。在這裡，我們發現了數學與藝術接壤的地方，數學提供了基本胚騰的理論基礎，藝術則在基礎之上發揮，做各種多采多姿的變化。
「想」篇說明數學是一種語言，當然有其思考的特色。我們把這種特色融入一般語言之中，於是歸納的意義、個體與集體之間的關係、集體與整體的不同、三段論法的應用、充分必要條件的區分、多元的可能與選擇等等，就比較容易想得清楚。甚至幽默與笑話之所以幽默與好笑，也可以有些數學的道理。
一本書不可能道盡尋找數學聖杯的所有故事，這本書希望能帶給讀者尋找數學聖杯的喜悅與衝動。
（本序文作者，曹亮吉現為《台灣數學期刊》總編輯）
