數學與頭腦相遇的地方

導 讀 數學和人生問題及哲學 丘宏義
——數學不再是象牙塔中供奉的偶像；
數學已經走到人間的塵世中。

前 言 有人情味的果實
——數學不是專管數字的工作；
它是一種思考的方法，一種擬出問題的方法。

第一章 數學和事物到底有什麼關連？
——相對論已經給了我們答案：我們只能觀測到關係。
而量子理論給了另一個回答：我們只能觀測到機率。

第一部 心靈與數學相會的地方

第二章 指數式放大
——以年息百分之七的複利增值，
你的錢在十年後加一倍。

第三章 預估風險
——三十五歲以上、受過大學教育的未婚女性，
想找到夫君的機遇比遭恐怖份子刺殺的機會還要小？

第二部 對物質世界的解釋

第四章 量度男人、女人、及事物
——把一幅畢卡索的畫放在顯微鏡下，
你就沒辦法欣賞了，你只能辨識粗點的圖樣。

第五章 尺度的問題
——對蒼蠅而言，水更具有捕蠅紙的威力；
一旦蒼蠅身上沾濕了，就會被黏到死。

第六章 突現的性質︰多帶來不同
——群眾歇斯底里症不會發生在一個人身上，
就如一個人的病不能稱為傳染病一樣。

第七章 預測的數學
——這就是科學終歸要告訴我們的︰如何及為什麼，
而不是在哪裡或什麼時候。

第八章 稻草堆中的訊號
——科學家及藝術家都學會注意別人將要掃在地毯下的穢物，
他們學會變成很好的注意者。

第三部 對社會世界的解釋

第九章 選舉︰吉尼爾是對的
——她告訴人們的是他們不想聽的：
我們的選舉制度既不公平亦不民主。

第十章 公平的分配：所羅門王的智慧
——當我的小孩說某事是不公平的時候，
他們真正的意思是，他們得不到想要的東西。

第十一章 和藹體貼的數學原理︰數學證明了金律
——從這些數學研究中冒出來的策略，
聽上去很像老式的說教︰合作，原諒他人。

第四部 真理的數學原理

第十二章 事情因何發生？
——灰最後還是回歸灰，塵回歸塵，
可是在灰與灰、塵與塵之間，就有了人、狗及秋海棠。

第十三章 舉證的重擔
——許多人把「若ＤＮＡ比對符合，辛普森就有罪」
與「若ＤＮＡ比對不吻合，他就無罪」看成完全一樣……

第十四章 諾塞與愛因斯坦：真理的不變性
——和愛因斯坦一樣，諾塞看穿了
把看似大不相同的事物聯繫在一起的隱匿結構。

附 錄 延伸閱讀

前言
有人情味的果實
柯爾

　　無論什麼理由，在最基礎處，大自然寧愛美。
　　——物理學者格羅斯（David Gross），加州大學聖巴巴拉分校理論物理學院院長

　　數學似乎有一種令人驚異的能力，可以告訴我們東西是如何運轉的，為什麼事物是按它們現有的形態存在的，及宇宙能告訴我們些什麼（只要我們願意去學習及聆聽）。令人驚奇的是，這個本領來自一種似乎很抽象、客觀而無人情味的人類活動。

　　可是，我們看待自己的方式，與我們所知的、或自認為已知的大自然客觀樣貌之間，有非常密切的關係。數學非但告訴我們重力的運用（因而可以建造出更好的橋樑），也告訴了我們一些普遍性的真理，這些真理影響了我們如何思考及感受（可以用來造出更好的社會）。物理學家法蘭克．歐本海默[1]喜歡把這些看成科學中有「人情味」的果實。

　　誠然，數學可以應用在我們從學校學來的東西：造橋樑、結算支票本，及計算贏樂透獎的機率。可是它也可以闡明心中的迷惑，非但是科學家午夜冥思時的迷惑，還包括了藝術家及詩人、學校教師、心理學家、情侶、及為人父母者的迷惑︰我們怎樣能在大自然中尋出一個意義出來，包括人的本性？真理的本質是什麼？

　　人類從上帝及方程式中尋求這些答案（有時在二者中同時尋找），譬如透過寫劇本及研究螞蟻來尋找。奇怪的是，這些能協助闡明「光是一種上下起伏的電磁場」的思考渠道，同樣也能搜尋多種社會問題的成因。在審判辛普森[2]時，也用到了用來證明頂夸克（top quark，最基本的粒子之一）存在的同一步驟（請見第十三章）。

　　這是一種使人興奮飄然的意識︰數學這看上去似乎枯燥無味的東西，與我們做為社會基礎的深奧哲學理念之間，居然有這麼緊密的關聯。藉由學習數學，我們可以把每件事物掌握得更好——從晦澀難解的物理問題，到如何在離婚案中定出公平的財產分配。

　　這就是在本書中，我嘗試把數學理念與解決看似不相關的問題連接起來的原因——從火星上的外星生命到「學院炸彈案」之謎[3]。這是一種嘗試，去示範數學如何能告訴人們哪些是真正該去思索及擔心的問題。如果我在本書中能完成一件事的話，那就是指出了，對生活品質的興趣不會因為量化的論證而有所減。質與量是不可分的。科學家及數學家，聖徙及哲學家，都在搜索「存在」的最基本問題，即怎麼樣和為什麼。雖然他們對於證明和證據都有不同的標準，可是量的洞察真的能幫我們去瞭解質方面的問題。

　　當然，數學工具不能替代藝術家、演員、經濟學家、心理學家、歷史學家、作家、宗教領袖的洞察，可是這些工具可以供應急需的新透視。

數學不是專管數字的工作

　　這本書的結構分成五個不等長短的部分。在第一章〈數學和事物到底有什麼關連？〉中，我表達出這個理念，即在許多方面數學不是專管數字的工作；它是一種思考的方法，一種擬出問題的方法，可以讓我們把事件的內臟翻出，把藏在底下的翻上，因而可以得到對事物的真實本質的意識。當然數學家都知道這一點，可是大多數對這門科學不熟悉的門外漢都不知道。這一章要瀏覽一些不在冀望之中的數學領域，從每日的頭條新聞到「金律」[4]。

　　第一部〈心靈與數學相會的地方〉示範了一些理由，說明為什麼我們需要數學來幫助從紛亂中篩出真相。第一點是，數字自己不會說話，因為我們的頭腦擋了路。對每一個人來說，某些關係應當是很明顯的，可是就是不能穿透生理和經驗所擱下的、把智識和真理隔開的面紗。真的，這些心思過濾器使人的頭腦難以（或使其不可能）看到事物的真相，無論這真相是什麼。這些過濾器都是人類生理及心理上所需有的，因此不必去想如何「醫治」它們。可是，能知道它們在哪裡就可以幫上不少忙了，就如協助你開車一樣，如果知道你的車要向左偏去，就可以把方向盤向右扭，以資補償。

　　第二部〈對物質世界的解釋〉，我要探索及澄清一些因物質實境投入視野而產生的障礙（我並不是說，能把我們頭腦中的那些混亂狀態，與凌亂的現實完全分開）。被不停的干涉及不斷改變場合混淆的訊號，在我們目視之下熔入「量」中的「質」或熔入「質」中的「量」，複雜到不可能解開的亂麻網絡，觀測的不可捉摸性，以及作預測的風險性——這些都使得欲從資訊中得到一些見識的技藝，變成一種挑戰，即使對最熟練的數學家亦然。

　　第三部〈對社會世界的解釋〉要給讀者一些「數學如何能闡明世人的某些問題」的滋味，如公平。例如，一門叫做「賽局理論」的數學建議道：遵守「金律」非但是道德性的行為準繩，也是能得到好結果的有效策略。

　　第四部、也是最長的一部〈真理的數學原理〉是本書宗旨的核心，描寫的是數學家能經常顯露出的一些驚人的基礎關係——因和果之間的關係，例如，證據及證明，真理和美。最有趣及最刺激的部分（即高潮，至少對作者來說是如此），是一位姓諾塞（Emmy Noether）的年輕數學家如何想出一個能使愛因斯坦的廣義相對論成立的方法；她展示出對稱性與基本的、不變的自然律之間的連鎖關係。換句話說，這個能使雪花美觀的性質，也彰顯了控制整個宇宙的定律。美與真理是同一枚硬幣的兩面。

【注釋】

　　[1]原注：法蘭克．歐本海默（Frank Oppenheimer）是舊金山探險博物館（Exploratorium）的創辦人。他是「原子彈之父」羅伯．歐本海默（J. Robert Oppenheimer, 1904-1967）之弟。麥卡錫（Joe McCarthy）時代，法蘭克由於和平主義的論調，也被列入黑名單，遭排斥於物理學界之外。（譯注︰麥卡錫是一九五○年代的美國參議員，信口開河，不論青紅皂白把許多人戴上紅帽子。有一度被人認為是反共先鋒，後來其把戲被拆穿，名譽掃地。可是已經有許多被害者，包括歐本海默兄弟。最後參議院投票表決，公開斥責麥卡錫的行為，認為有辱參議員的身分。）

　　[2]譯注：辛普森（O. J. Simpson），著名美式足球健將，在洛杉磯以殺妻罪被提起公訴，可是因為警方無能，把證據搞糟而被陪審員判無罪。

　　[3]譯注：美國自一九七九年以來，有一位不知名的人把炸彈郵寄到不同學院中的不相關的人去，炸死及炸傷二十餘人。警方把這案稱為「大學炸彈者」（university bomber，簡稱為 unabomber）。後來大學炸彈者在報上發表反對科技的「宣言」，被他的兄弟認出，因而在蒙大拿州一處偏僻地方被找到，當時他正隱居於一間自己搭的小屋中。大學炸彈者名為 Kazynski，為一天才，哈佛大學數學博士，曾在加州大學柏克萊分校擔任助理教授。性格乖僻，教學不久後辭職，就此到被捕前皆不知去向。他認為科技是罪惡之本，因而專向學院及科技相關人士寄匿名包裹炸彈。現被判終身隔離監禁，不得保釋。

　　[4]譯注：「金律」（golden rule）源出基督教聖經《新約》馬太福音７：12及路加福音６：31「你們願意人怎樣待你們，你們也要怎樣待人」，和孔子的哲學類似，可是倒過來說。孔子說「己所不欲，勿施於人」，而這金律說的是「己所欲，施於人」或「推己及人」。