數學是啥玩意? (III) (改版)

數學是啥玩意? (III) (改版)
定價:250
NT $ 45 ~ 360
  • 作者:斯坦
  • 原文作者:Sherman K. Stein
  • 譯者:葉偉文
  • 出版社:天下文化
  • 出版日期:2014-10-30
  • 語言:繁體中文
  • ISBN10:9863205907
  • ISBN13:9789863205906
  • 裝訂:平裝 / 242頁 / 14.8 x 20.5 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
 

內容簡介

《數學是啥玩意?》 (III)

  數學的宇宙,產生自周遭的現實世界,就好像夢想由日常的事物所激發。

  數學的宇宙浩瀚無比,這塊大版圖裡的一切,都是人類心智活動的產物。

  閱讀完這三冊《數學是啥玩意?》,你就已一腳踏入了千變萬化的數學天地,遍覽數論(質數、同餘式)、集合論、拓樸學(公路系統、地圖著色)、組合數學(正交表、記憶輪)、分析學(機率)、幾何、代數等等學門的基礎知識。

  讀過《數學是啥玩意?》之後,你就會徹底明白:數學,絕對不等於枯燥的數字計算,也不等於一頁又一頁沒有清楚解釋的難懂定理,而是實用有趣的益智遊戲。
 

作者介紹

作者簡介

斯坦──《幹嘛學數學?》作者 Sherman K. Stein


  加州大學戴維斯分校數學教授,該校傑出教學獎得主之一,並曾獲得美國數學學會頒發的福特獎(Lester R. Ford Prize),以表彰他在闡揚數學知識方面的貢獻;此外也因為《Algebra and Tiling》這本書,獲頒貝肯巴赫書獎(Beckenbach Book Prize)。

  斯坦的主要興趣在代數、組合數學及教學法,另著有《幹嘛學數學?》(天下文化出版)以及為中學生所寫的數學普及書系。

譯者簡介

葉偉文


  國立清華大學核工系畢業,原子科學研究所碩士(保健物理組)。譯有《愛麗絲漫遊量子奇境》、《幹嘛學數學?》、《物理馬戲團 I~III》、《數學小魔女》、《統計,改變了世界》等
 

目錄

閱讀地圖
閱讀指南
第15章 地圖著色
第16章 數的種類
第17章 尺規作圖
第18章 無窮集合
第19章 總 覽
附錄E  等比與調和級數
附錄F  任何維數的空間
「數學健身房」的部分解答與說明
 

第三版序

  《數學是啥玩意?》的第二版發行迄今,已經七年了,在這段時間裡,由於受到專業學識發展和社會變遷的影響,數學的本身及教學方法都有相當程度的演進。本書的第三版就充分反映了這些演進,同時也表達出我個人在想法上的改變。例如我在第三版增加了一章,專門討論機率,即反映出現今的社會或個人,可能會應用與機率有關的數學知識,來解決所面臨的難題,而老師與學生在探討相關知識時,也對這些課題愈來愈感興趣。

  在我們所處的世界裡,許多事物都是天然生成的,比如水。我們知道,水分子是由兩個氫原子與一個氧原子構成的,但對於水分子湊在一起時如何能呈現水的特性,卻一無所知。用原子與分子的概念,很方便就能解析水這種物質,卻又無法掌握水真實的特性,原子與分子真是既方便卻又抽象的天然事物。

  相反的,數學就完全是人為的成果,每個定理與每項證明都是人類心智活動的產物;在數學裡,所有的牌都攤在桌上。在這層意義上,數學是具體的,世界反而是抽象的。

  我打算藉由這本書,把數學的這種具體特性介紹給一般讀者。我所謂的「一般讀者」,可以是大學生、高中生或喜歡追根究柢的上班族,不管你的主要興趣是什麼,只要有一顆好奇的心就行了。這本書最初是設計為大專課程,幫助不同科系的學生認識數學的美、生命力與包羅萬象。在寫作本書之前我花了好幾年,想找一本合適的教科書,但找到的不是太難就是太專門。

  本書所談的主題選自數論、拓樸學、集合論、幾何、代數與分析學,但我希望讓僅有少許數學背景的讀者也看得懂(有些章節只需國中學過的算術),所以針對每個主題,我都會說明主要觀念,讓這些主題的本身很容易實驗或求證。

  我建議各位在閱讀每一條定理及證明時,要充分利用數學的具體特性,不要有先入為主的信念,而是要心懷警覺與懷疑,仔細檢查每一個推理的步驟。在碰到像「你可以自己舉個例子」,或「在證明之前,不妨用一些特例檢驗一下這個定理」之類的建議時,最好是能照做。讀這本書時,最好也能把紙、筆放在手邊,隨時可派上用場。

  《數學是啥玩意?》的第三版與前兩版有很多不同。在第三版,第1章到第4章是全書的核心,而接下來的六章與新增的第13章,則是用得最多的。第13章〈機遇〉是在介紹機率論的幾個基本知識,在強調機率理論的一般應用及做決策時的重要性;你們由第13章的內容與附帶的練習題可以看出,機率的概念在日常生活裡雖然隱而不顯,卻無所不在。此外在新版的第9章〈數的表示法〉當中,還增添了公制的介紹,這是因為公制與十進位制是不可分的。

  全書還有許多較小規模的改變,包括新的結果、更為簡單的證明,以及新的練習題。就像第二版一樣,很多改變只是為了讓觀念闡述得更清楚。大部分習題的解答都附在書後。

  「數學健身房」裡的習題依難度分為三類。第一類是一般練習,讓各位自我測驗是否理解相關的定義與基本觀念。第二類習題我用了一隻筆(✎)與前一類區隔,通常你必須應用那一章所談的觀念才能解答。第三類練習題的前面有兩隻筆(✎✎),難度最高,解題時你不僅要充分理解那一章的中心主題,還必須能舉一反三,想出其他的方法。

  值得注意的是,本書依不同類型的學生及不同的難易程度,做了不一樣的閱讀安排。利用最前面的閱讀地圖與閱讀指南,老師或讀者可以自行決定要如何進行。

斯坦
 

內容連載

第15章  地圖著色

西洋棋盤只需要兩種顏色,就能塗滿整個盤面,方法是讓緊鄰(共用一條邊線)的兩個小方格各塗上不同顏色。有些地圖也是一樣,只需兩種顏色就可以塗滿,使相鄰的國家有不同的顏色,但是有些地圖就做不到了。

為了簡單起見,當我們說「能以兩種顏色著色的地圖」或「兩色地圖」時,我們指的是只要用兩種不同的顏色,就可以把整張地圖塗滿,而且那些共享至少一條邊線的國家,會有不同的顏色。同樣的,在本章稍後,我們可能會談到「用三種不同的顏色塗滿地圖」或者說「一張五色地圖」,都是指:共享一條邊線的國家顏色不同。

我們假設前面兩張地圖,畫的都是一個有很多國家的大島。我們稱那些國界的交叉點為「頂點」,而不在海岸線上的頂點則稱為「內陸頂點」。而「頂點的次數」是指交會在這個頂點的邊線數目。這種觀念已經在第7章扮演過關鍵性的角色。

那些海島上有眾多國家的地圖裡,由於包圍內陸頂點的國家必須交替著上不同的顏色,因此若有個內陸頂點的次數是奇數的,這張地圖就沒辦法用兩種顏色來著色。我們因此得到下列定理:

定理1:如果一個海島上有許多國家的地圖能用兩種顏色來著色,則每個內陸頂點的次數都是偶數。

至於四色地圖的問題,可以回溯到1852年的10月23日,是梅氏(K. O. May)提出的。就在這一天,古斯瑞(Francis Guthrie)把它拿給他的老師,邏輯學家笛摩根(Augustus De Morgan, 1806-1871)看,而笛摩根則寫信問哈密頓(W. R. Hamilton, 1805-1865):

我的學生今天就一件事問我原因何在。他認為這件事是一項事實,但我不那麼確定,以前也沒注意到。他說如果把一個圖形隨意分割,並且把每塊區域塗上不同的顏色,使得同一條邊線的兩邊顏色不同,則只需要四種顏色就一定夠了,甚至更少些……

你認為如何?如果真的是這樣,你以前知道嗎?我的學生說他曾以英格蘭的地圖來做實驗。這件事,我愈想愈覺得它是真確的。
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