迭代·渾沌·分形

1 為什麽要研究迭代
1 迭代及其軌道
2 Logistics方程
3 什麽是動力系統
4 軌道行為的復雜性
5什麽是渾沌
練習一
2 有趣的復迭代
1 Cayley問題
2 Fatou與Julia的研究
3 美麗多樣的Julia集
4 周期軌道
5 Julia集上的渾沌現象
6 穩定域
練習二
3 什麽是分形
1 Hausdorff維數
2 Hausdorff維數的計算
3 自相似的分形
4 Julia集與分形
練習三
4 Mandelbrot集中的奧秘
1 什麽是Mandelbrot
2 Mandelbrot集與二次式的迭代
3 雙曲分支與雙曲猜想
4 Mandelbrot集的連通性與外射線
5 Mandelbrot集的邊界
練習四
參考書目

這本書是寫給大學生的一本數學通俗讀物．其目的是以函數的迭代為模型，向讀者介紹什麽是渾沌和分形，以及研究它們的意義．具有微積分基本知識的讀者均可讀懂它的主要內容．

在20世紀60年代，Lorenz在研究大氣流動時發現了奇異吸引子的現象．它告訴人們在一個確定性的系統中可能存在著某種不可預測的行為，後來人們把這類混亂和無序的現象稱為渾沌（chaos）．分形（fractal）是指一類復雜而不規則的圖形，其Hausdorff維數大於其拓撲維數．隨著非線性科學的興起，近幾十年來渾沌與分形廣泛地出現在許多領域，如天體力學、宇宙學、熱力學、生命科學、流體力學、材料科學及各種應用科學．渾沌與分形這兩個詞匯成為種種非線性科學中的一種語言，並成為理解非線性過程中復雜現象的一條途徑．然而，對於大多數非數學專業的工作者而言，人們對於這兩個時髦的名詞充滿著好奇、迷惑和某種神秘感．通過一個簡單的數學模型，來解釋渾沌與分形的確切含義以及它們是怎樣形成的，就是本書寫作的初衷．

如果拋開具體的物理現象不談，單從數學上看，渾沌與分形的產生並不是一種很特別的事：一個簡單的二次式的迭代就可能導致渾沌與分形．早在1920年前後，數學家Fatou與Julia就系統地研究了復的多項式或有理函數的迭代．他們彼此獨立地對這種復迭代在其不穩定集合（後來人們稱之為Julia集）上的行為作了完整深刻的刻畫．根據他們的研究結果，復迭代在其Julia集合上的復雜行為實際上就是當今被廣泛談論的渾沌．在他們的研究工作的60年之後，Julia集被人們用電子計算機畫成了圖形．這些Julia集的圖形出人意外的復雜和多樣，並且十分美麗．絕大多數Julia集的圖形都是分形，現在成了分形理論中的「經典」例子．這樣，在20世紀80年代初，在D．Sullivan等人工作的影響下，關於復迭代的研究一下子又熱乎起來，吸引了不少數學家進一步研究，並取得了重要進展．

這本小冊子共分4章．第1章討論關於一般映射的迭代，介紹什麽是渾沌，通過若干簡單實例介紹非線性迭代怎樣導致渾沌．第2章介紹Fatou與Julia關於復迭代的基本結果及SulliVan的定理．第3章闡述分形的定義和Hausdorff維數的計算．第4章討論與二次迭代有深刻聯系的Mandelbrpt集合，介紹Douady與Hubbard的研究結果和尚未解決的問題．

作者過去曾以同樣的題目多次向大學生作過通俗的演講．本書是在講稿的基礎上補充而成．我們的重點依舊是放在對基本概念與重要結論的闡述上．與教材和專著不同，它不追求理論上的完整和形式的嚴謹．我們將不得不省略某些較深的定理的形式證明，以保證本書有較強的可讀性．

每一章後面作者建議了一些練習，其中包括一些計算機繪圖．通過這些練習，讀者將會對書中提到的理論有更具體的理解．