數學教室A to Z

出版緣起 開創科學新視野
前言

A 算術 Arithmetic
B 伯努利試驗 Bernoulli Trials
C 圓 Circle
D 微分學 Differential calculus
E 歐拉 Euler
F 費馬 Fermat
G 希臘幾何學 Greek Geometry
H 斜邊 Hypotenuse
I 等周問題 Isoperimetric Problem
J 辯證 Justification
K 封爵的牛頓 Knighted Newton
L 被人遺忘的萊布尼茲 Lost Leibniz
M 數學人物 Mathematical Personality
N 自然對數 Natural Logarithm
O 數學探源 Origins
P 質數定理 Prime Number Theorem
Q 商 Quotient
R 羅素悖論 Russell's Paradox
S 球狀曲面 Spherical Surface
T 三等分問題 Trisection
U 數學的功用 Utility
V 文氏圖 Venn Diagram
W 女數學家都上哪兒去了？ Where Are the Women?
X-Y X-Y平面 X-Y Plane
Z 複數Z

後記
致謝
注釋
索引

前言

　　許多孩子都從簡單的字母書開始學習閱讀，他們舒服地坐在父母溫暖的膝上，逐一聆聽字母，從「A拼寫出alligator（鱷魚）」到「Z拼寫出zebra（斑馬）」。這類書籍或許不是偉大的文學作品，卻是教導孩子認識字母、詞彙和語言的有效啟蒙讀物。

　　本書仿效這類孩童字母讀物，收錄系列短文，從A到Z概括論述數學學識。但內容部分比較精深（這時D不再代表doggie〔小狗〕，而是拼寫出differential calculus〔微分學〕），而且也不需要坐在溫暖的膝上。不過基本理念相同，依然是從A到Z的閱讀歷程。

　　就專供讀者從頭到尾閱讀的書籍來講，這種格式帶來一項嚴苛的限制。畢竟，數學課題的發展進程，並不依循拉丁字母邏輯順序來映照顯現，因此，章節變換有時會顯得突兀。此外，儘管某些字母涵括眾多可能題材，有些卻也十分冷僻，這種狀況在孩童字母讀本也可以發現，比如「C拼寫出cat（貓）」，輪到X卻是「X拼寫出xenurus（犰狳）」。往後讀者就會注意到，其中論題有些是硬塞進去的，就像把一隻十六號的大腳，用鞋拔硬塞進八號的靴子裡。為配合字母順序來規畫論題流程，確實引發重大邏輯難題。

　　本書開頭是（顯然）很簡單的算術題材。後續各章則反覆探討各項主題，還常有糾結交織的情況。相連各章有時彼此很能匹配，例如G、H和I三章，都談幾何學，還有Ｋ和緊接在後的L章，則是談十七世紀的以撒．牛頓和戈特弗里德．萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz）兩位死對頭。有些章節集中論述單一數學家，比如Ｅ章的歐拉、Ｆ章的費馬，和R章的羅素。有的篇章論述特定成果，例如等周問題或阿基米德求得球狀曲面表面積的作法。還有的則探究比較寬廣的議題，好比數學人物，或者女性在這個學門的身影。另外，不論探討哪項題材，各章都撥出大量篇幅來探究歷史沿革。

　　隨著論述發展，所有篇章起碼都會簡略提及數學的主要分支（從代數到幾何，乃至於機率和微積分）。這些段落的設計，著眼於解釋關鍵數學理念，帶有非正式教科書的意味，而且每個篇幅都零星出現實際的證明（或者至少是「小證明」）。舉例來說，D和L兩章便分別介紹微分和積分的算法，也因此背負的數學包袱較為沉重一些。

　　然而，就多數章節而言，陳述時都刻意避開直接技巧推演。所有數學題材幾乎都屬於基礎層次，也就是針對腹中裝有些許高中代數和幾何學識的對象來講述。專業數學家在字裡行間應該找不到什麼驚奇內容。本書的目標對象，是對數學具有廣博興趣，程度至少和他們所受訓練相符的讀者。

　　有幾項主題會一再出現書中：數學是種歷史悠久，卻又生機蓬勃的學問，處理的課題，包括日常重要事務，也包括沒有絲毫用處的事項；數學亦是一門汪洋浩博的學問，其寬廣程度，唯有其精深程度堪可比擬。依照字母順序安排章節，鋪陳道出這其中事理，就是本書的目標。

　　為免輕忽之失，這裡不能遺漏約翰．保羅士（John Allen Paulos）的《超越數》（Beyond Numeracy, Knopf, New York, 1991）。他表示，這本書「部分是字典，部分是數學文集彙刊，還有部分則是數學學人的反思心得」。保羅士以生動著述，從A到Z描繪出一組數學課題──他在該書中的內容安排，是從algebra（代數）到Zeno（芝諾）。他為某些字母安排了多項條目，採這種作法，涵括範疇才更為寬廣；我則收納較少條目，不過文章篇幅較長，如此安排可提增深度。期望我們這兩本書，可以和平共存，構成同採字母編排的變化成果。

　　當然，一名作家不可能探討所有關鍵要點、介紹所有重要人物，或兼顧數學界所有迫切議題。每有轉折都必須做出抉擇，而影響抉擇的要件包括，內部一致需求、題材的複雜程度、作者的興趣和專業，還有全然人為的字母順序布局。這類計畫總有遺珠，而且缺捨的數量，甚至有獲採納條目的數千倍之多；同時，大批有潛力的論題，也在剪輯室中，命喪於文字處理人員之手。

　　到頭來，這本書就成為一個人隻身面對浩瀚數學宇宙的反應成果。本書描繪出一段旅程，代表在無數作家、無窮盡可能的旅程當中，最後真正落實的選擇。同時，這裡我並不聲稱，自己確實恪遵從A到Z的廣博路徑來鋪陳內容。

　　暫且把這些限制要件擺在一旁，我希望這些章節，能夠彰顯所述題材的無窮魅力，起碼要讓讀者略瞥箇中妙處。十九世紀數學家索菲亞．柯瓦列夫斯卡婭（Sofia Kovalevskaia）便曾指出：「許多無緣更深入認識數學的人士，分不清數學和算術的差異，還誤以為這是一門枯燥冷僻的科學。事實上，這卻是門需要最高強想像力的科學。」１本書或許還有一項功能，藉此可以彰顯十五世紀希臘哲人普羅克洛斯所述見識：「單憑數學，便能重振生機、喚醒靈魂......洞見生命。還能化形影為實在，化黑暗為智慧光芒。」2