數學教學中的邏輯問題

邏輯基礎知識篇
1-1 概念
1-2 給概念下定義
1-3 重視定義的必要性（數學特殊邏輯現象研究1）
1-4 原始概念的處理（數學特殊邏輯現象研究2）
1-5 概念的划分
練習一
1-6 命題
1-7 復合命題
1-8 復合命題的否定
1-9 命題四種形式（數學特殊邏輯現象研究3）
1-10 充分條件、必要條件和充要條件
1-11 命題函數
1-12 全稱命題
1-13 特稱命題
1-14 抽屜原則、平均值原理和零積原理（數學特殊邏輯現象研究4）
1-15 全稱命題和特稱命題的否定
1-16 至多、至少命題和存在唯一命題及其否定
1-17 多元命題
1-18 一致型命題和特殊值法（數學特殊邏輯現象研究5）
練習二
1-19 推理
1-20 不涉及命題結構的推理規則
1-21 一元命題的推理規則
1-22 多元命題的推理規則
1-23 三段論
1-24 證明和解答
1-25 反證法（數學特殊邏輯現象研究6）
1-26 同一法（數學特殊邏輯現象研究7）
1-27 數學歸納法（數學特殊邏輯現象研究8）
1-28 分析與綜合（數學特殊邏輯現象研究9）
練習三
「涉邏」習題篇
2-1 新定義問題
2-2 存在性問題的證明
2-3 「恆成立」問題的解法
2-4 反推和反面扣除
2-5 選擇題解法研究
2-6 分類討論
「涉邏」教學研究與課例篇
3-1 定義語言的分析與正反舉例
3-2 分辨容易混淆的概念
3-3 重視概念間的聯系
3-4 突出量詞，並早期滲透
3-5 突出「否定」
3-6 重視必要的同義反復
3-7 數學證明和解答中的常見錯誤
3-8 零指數冪（教學實錄）
3-9 有理數的復習（一）（教學實錄）
3-10 四種命題的關系（一）（教學實錄）
3-11 「由特殊到一般的數學思想方法」（教學實錄）
3-12 分類討論思想的運用（教學實錄）
3-13 「數學歸納法」（教學實錄）

數學離不開邏輯，這是大家的共識，因此，數學教師毫無異議的應該具有比較良好的邏輯素養。有一段時間里，好多大學校長是數學家，就是中學里，也是有好多名校的校長是數學教師。這說明，學數學的人，有一種特殊的優勢，而思考問題時邏輯性比較強，可能是這種優勢的一個主要方面，筆者還注意到，好多中學里，數學教研組往往是最團結，最和諧的。其原因可能是因為在數學里，答案是用邏輯推理得到的，對就是對，錯就是錯，因此，哪位老師行，哪位老師不太行，標准比較客觀，這樣，「文人相輕」的現象就比較少了，於是就比較容易達到認識的統一，進而形成集體的團結。

但是，由於我國從基礎教育到高等教育，學生都沒有完整地學過邏轄學，甚至師范大學數學系的大部分學生也沒有學過邏輯學，所以，中學數學教師的邏輯知識是不完整的。即使學習過一點邏輯知識，有陶是從語文課里學到的「形式邏輯」（現在常稱為傳統邏輯），沒有數學特色；有的是從大學選修課數理邏輯里學到的，過於艱深，不經過自己的消化和摸索，很難用到自己的教學中去，所以中學數學教師的邏輯知識掌握得並不完美。正因為中學數學教師的邏輯知識掌握得不完整，不完美，筆者在199O年曾經發表過《從數學教師幾種流行說法看學點邏輯的必要性》和《從一道高考題的錯證看學點數理邏輯的必要性》②兩篇文章，呼吁中學數學教師要學點邏輯。

在中學生中，問題更為嚴重。根據我們的調查，中學生對數學化語言的掌握，問題最嚴重的就是涉及「每一個」、「有一個」、「充分」等有關邏輯的詞，

那麽，我們應該掌握哪些邏輯知識？怎樣學習邏輯知識呢？完完整整地學習邏輯學理論固然好，但是，這樣做要花費很多咐間和精力。比較有效的做法是，學習一些和數學教學緊密相關的邏輯知識。

數學在使用邏輯方面有它獨特的地方，從中學數學而言，至少有以下幾點：

第一，在進行數學推理咐，只能用演繹法和完全歸納法，而不能用實驗、不完全歸納與類比，更不能以某某偉人的話作為推理的依據。這樣說，並不是貶低實驗、不完全歸納與類比的作用。毛澤東曾經說過，要學點邏輯，但同時又說，邏輯是得不出新東西的，因為邏輯推得的結論其實都蘊涵在前提里了。實驗、不完全歸納與類比，這些方法在人類發展中起到了極大的作用，在數學教學中也有很大作用。課程改革所大力提倡的探究性學習，就離不開這些方法。

第二，既然數學強調演繹推理，那麽論證就有個依據問題。一個A論題的依據是B，B的依據又是C，┅，打破砂鍋問到底，最後的依據是什麽呢？數學里是采用公理化體系的辦法來處理。這和其他學科完全不同。

第三，從微觀上說，數學里的命題結構特別復雜；數學里強調定義的作用，它是討論問題的出發點；數學中引進變元，但又使用自然語言（特別在中學數學教學中），所以在表達上處於「半形式化」狀態；數學里還有一些特別有「邏輯味」的論題和習題，譬如，「一致型命題」、「平均值原理」、」存在性問題」、「恆成立問題」·┅┅

鑒於數學中的邏輯有這麽多的特點，因此希望大家都來學點邏輯，特別要學習與數學相關的邏輯知識，用邏輯研究和數學相關的邏輯問題．研究數學特有的邏輯現象，這個工作對中學數學教師來說很重要。筆者早午曾經對此做了一點工作：發表過一些論文，提出了「一致型命題」和「平均值原理」等原創性的觀點；對含邏輯知識的數學課的教學進行了研究，還做了一個試驗；主編過比較強調系統性的《數學教學邏輯》（上海市中學數學教師繼續教育教材）。本書想以數學教師關心的問題為出發點，專題式地展開，這樣可大大增加可讀性。

本書的編寫宗旨，一是介紹一般的邏輯知識，包括數理邏輯的最基礎的知識。傳統邏輯通常講概念、判斷、推理、論證；數理邏輯包括命題演算和謂詞演算兩部分。兩者難以融含。我們采取了「拿來主義」的態度，根掘數學教師的需要，在傳統邏輯和數理邏輯中選擇有用的部分。歷來在數學教育界有個誤區，那就是「數理邏輯無用論」：數理邏輯對中學數學來說是沒有用的。其實數理邏輯中的最基礎的知識，譬如，量詞「每一個」和「有一個」，中學數學里經常在使用。把數理邏輯的最基礎的知識引進來，是本書的一個特色。

二是作為數學，在使用邏輯方面有自己的特點。本書在研究數學特有的邏輯現象方面，在涉及邏輯的習題的解法研究方面，在涉及邏輯的數學課教學研究方面，作進一步的努力。這是本書的又一個特色，並且是最重要的特色。

本書分三篇。第一篇是邏輯基礎知識篇，分別講述了概念、判斷、推理、論證等，其中包括數學里的特殊邏輯現象，如「抽屜原理」、「平均值原理和零積原理」與「—致型命題和特殊值法」等。第二篇是習題篇，主要研究涉及邏輯知識比較多的數學習題（本書暫把它叫做「涉邏」習題）的解法研究，如「存在性問題的解法」、「恆成立』問題解法」等！第三篇是「涉邏」的數學內容的教學研究和教學案例．

本書的對象是中學數學老師，為了讓初中高中數學老師各有所得，其中涉及高中數學的知識和例題都用仿宋體印刷。有些內容比較艱深，特用小字號排印，供有興趣的讀者閱讀。願這本書能夠給讀者，特別是初登講台的青年教師有所幫助。

需要說明的是，本書的作者都不是邏輯學家，在邏輯方面一定有不到位的地方，敬請邏輯專家、數學教育專家和廣大數學教師指正。

陳永明
於上海徐匯區教師迸修學院
2008年10月